資源描述：
《伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫(kù)。
1、伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用摘要在高等代數(shù)中，伴隨矩陣作為一種特殊的矩陣有很多特殊的性質(zhì)，從某種意義上來(lái)說(shuō)，它和正定矩陣、正交矩陣一樣,不僅在理論很有研究?jī)r(jià)值而且在實(shí)踐上也有廣泛的應(yīng)用.本文主要是針對(duì)伴隨矩陣的多種性質(zhì)以及特殊的矩陣(比如上三角矩陣、對(duì)稱矩陣等)的伴隨矩陣所具有的性質(zhì)進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，同時(shí)在計(jì)算伴隨矩陣中應(yīng)用伴隨矩陣的特殊性質(zhì)去簡(jiǎn)化計(jì)算，使某些矩陣的伴隨矩陣的求法簡(jiǎn)單可行，避免了大量復(fù)雜的計(jì)算.關(guān)鍵詞伴隨矩陣特殊矩陣上三角矩陣1序言伴隨矩陣是一種特殊的矩陣，在矩陣的研究中占有很重要的地位.前人針對(duì)伴隨矩陣的性質(zhì)及其應(yīng)用等方面做了
2、大量的工作.而本文在借鑒前人的基礎(chǔ)上，首先研究的是伴隨矩陣的性質(zhì)，其次對(duì)某些特殊矩陣的伴隨矩陣進(jìn)行研究，最后利用特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)對(duì)某些題目應(yīng)用簡(jiǎn)單方法進(jìn)行計(jì)算.2伴隨矩陣的性質(zhì)2.1伴隨矩陣的定義設(shè)=()是一個(gè)級(jí)矩陣，叫做的伴隨矩陣，其中是的代數(shù)余子式，很顯然的元素是由的一切n-1級(jí)代數(shù)余子式組成.192.2伴隨矩陣的基本性質(zhì)定理2.1證明（略）.定理2.2設(shè)為n（n＞1）階方陣，則有=證明（1）當(dāng)時(shí)，≠0，由=知，，即，所以.（2）當(dāng)時(shí)，0，所以0，知的列向量都是方程的解，由于，齊次線性方程組的解向量組的秩為n-（n-1）=1，
3、知的列向量組的秩為1，即列秩為1，故.（3）當(dāng)時(shí)，的每一個(gè)元素都是零，因?yàn)闆](méi)有不為0的n-1階子式，故.定理證畢.對(duì)定理2.2有如下兩個(gè)推論：推論1和同時(shí)可逆或不可逆.①若，；②若時(shí)，=0.推論2定理2.3設(shè)為階方陣，即為，則有（1）（2）對(duì).特別，有19證明（1）可直接由定義計(jì)算出來(lái).(2)當(dāng)k=1是，結(jié)論成立，當(dāng)k=2時(shí)，，由，所以k=2時(shí)成立.假設(shè)k-1結(jié)論成立，則對(duì)于k當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)k為偶數(shù)時(shí)所以對(duì)任意的k，結(jié)論成立.對(duì)定理2.3有如下推論：推論若為n×n（n3）非可逆矩陣，則的m（m2）重伴隨矩陣證明由于為n（n3）且的矩陣，由定
4、理2.2，則，所以中任意階子式全為0，故有，從而定理2.4證明設(shè)，，則，19，其中設(shè)，則對(duì)定理2.4有如下兩個(gè)推論：推論1推論2定理2.5證明由；，而，故結(jié)論成立.19定理2.6（）定理2.7定理2.8定理2.9定理2.10證明設(shè)則中第i行第j列表示為19根據(jù)行列式的性質(zhì)：行列式與它的轉(zhuǎn)置矩陣行列式相等，顯然有，對(duì)一切；都成立，所以.3某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)定理3.1單位陣的伴隨矩陣仍為單位陣，即；零矩陣伴隨矩陣仍為零矩陣.定理3.2若是上（下）三角形矩陣，則也是上（下）三角形矩陣，并且之對(duì)角線上元素為之對(duì)角線除去對(duì)應(yīng)位置上一元素后
5、余下的n-1個(gè)元素之積.證明設(shè)，當(dāng)k＞1時(shí)，因?yàn)槠渲惺撬鶎?duì)應(yīng)的代數(shù)余子式，于是，當(dāng)時(shí)，=而故.這就是說(shuō)19又=就證明了上三角的情形.同理可證明下三角的情形.對(duì)定理3.2有如下推論：推論對(duì)角矩陣的伴隨矩陣仍為對(duì)角矩陣，且定理3.3對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣仍為對(duì)稱矩陣，對(duì)合矩陣（）的伴隨矩陣仍為對(duì)合矩陣.證明由為對(duì)稱，可得，而即知是對(duì)稱的.若對(duì)合陣，，則，則，再由，即，得，所以，.這樣.因而是對(duì)合矩陣.定理3.4設(shè)為反對(duì)稱矩陣，即，19則即偶數(shù)階反對(duì)稱矩陣伴隨矩陣仍為反對(duì)稱矩陣，奇數(shù)階的反對(duì)稱矩陣的伴隨矩陣為對(duì)稱矩陣.證明由知，，若，那么，即是反對(duì)
6、稱陣.若，那么，即是對(duì)稱陣.對(duì)定理3.4有如下推論：推論設(shè)為非奇異矩陣，為反對(duì)稱矩陣，則是反對(duì)稱矩陣，即是反對(duì)稱矩陣.證明因?yàn)闉榉磳?duì)稱矩陣，所以也是反對(duì)稱矩陣，于是有上式兩邊左乘得因此，有；故為反對(duì)稱，也為反對(duì)稱.定理3.5初等矩陣的伴隨矩陣分別為.證明定理3.6①若是第一類正交矩陣，即，則；19②若是第二類正交矩陣，即，則；③若是階非零方陣且,則正交；證明①②：若正交，則且，于是③：若，并設(shè)，分兩種情況；?。┤?，那么代數(shù)余子式；把按第行展開(kāi)得又知，所以，所以，即正交ⅱ）若，那么的代數(shù)余子式，把按第行展開(kāi)得，所以所以，即正交.對(duì)定理3.6
7、有如下兩個(gè)推論：推論1若為正交矩陣，則也為正交矩陣.證明為正交陣，則有，故有19所以為正交矩陣.推論2若為正交矩陣，則也為正交矩陣.證明由于為正交矩陣，則可逆，，故所以，為正交矩陣.定理3.7定義若，則稱為自伴隨矩陣.（1）零矩陣、單位矩陣均為自伴隨矩陣；（2）兩自伴隨矩陣之積為自伴隨矩陣的充要條件是兩矩陣可交換；（3）若為自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣；（4）若為非奇異自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣；（5）若為自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣.對(duì)定理3.7有如下兩個(gè)推論：推論1為自伴隨矩陣，若不是可逆的，則.證明為n階自伴隨矩陣，則，若，則，所
8、以；19若，則.由，可得，所以.下證這種情況不可能出現(xiàn)，可設(shè)其中，，由為自伴隨矩陣，所以，而得，但不同時(shí)為零，不同時(shí)為零，此方程無(wú)解，所以這種情況不可能出現(xiàn)，因此結(jié)論成立.推論2行列式值為1的
