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《伴隨矩陣的性質及其應用 數學畢業(yè)論文》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在學術論文-天天文庫。
1、伴隨矩陣的性質及其應用摘要在高等代數中，伴隨矩陣作為一種特殊的矩陣有很多特殊的性質，從某種意義上來說，它和正定矩陣、正交矩陣一樣,不僅在理論很有研究價值而且在實踐上也有廣泛的應用.本文主要是針對伴隨矩陣的多種性質以及特殊的矩陣(比如上三角矩陣、對稱矩陣等)的伴隨矩陣所具有的性質進行了系統(tǒng)的研究，同時在計算伴隨矩陣中應用伴隨矩陣的特殊性質去簡化計算，使某些矩陣的伴隨矩陣的求法簡單可行，避免了大量復雜的計算.關鍵詞伴隨矩陣特殊矩陣上三角矩陣1序言伴隨矩陣是一種特殊的矩陣，在矩陣的研究中占有很重要的地位.前人針對伴隨矩陣的性質及其應用等方面做了
2、大量的工作.而本文在借鑒前人的基礎上，首先研究的是伴隨矩陣的性質，其次對某些特殊矩陣的伴隨矩陣進行研究，最后利用特殊矩陣的伴隨矩陣的性質對某些題目應用簡單方法進行計算.2伴隨矩陣的性質2.1伴隨矩陣的定義設=()是一個級矩陣，叫做的伴隨矩陣，其中是的代數余子式，很顯然的元素是由的一切n-1級代數余子式組成.192.2伴隨矩陣的基本性質定理2.1證明（略）.定理2.2設為n（n＞1）階方陣，則有=證明（1）當時，≠0，由=知，，即，所以.（2）當時，0，所以0，知的列向量都是方程的解，由于，齊次線性方程組的解向量組的秩為n-（n-1）=1，
3、知的列向量組的秩為1，即列秩為1，故.（3）當時，的每一個元素都是零，因為沒有不為0的n-1階子式，故.定理證畢.對定理2.2有如下兩個推論：推論1和同時可逆或不可逆.①若，；②若時，=0.推論2定理2.3設為階方陣，即為，則有（1）（2）對.特別，有19證明（1）可直接由定義計算出來.(2)當k=1是，結論成立，當k=2時，，由，所以k=2時成立.假設k-1結論成立，則對于k當k為奇數時k為偶數時所以對任意的k，結論成立.對定理2.3有如下推論：推論若為n×n（n3）非可逆矩陣，則的m（m2）重伴隨矩陣證明由于為n（n3）且的矩陣，由定
4、理2.2，則，所以中任意階子式全為0，故有，從而定理2.4證明設，，則，19，其中設，則對定理2.4有如下兩個推論：推論1推論2定理2.5證明由；，而，故結論成立.19定理2.6（）定理2.7定理2.8定理2.9定理2.10證明設則中第i行第j列表示為19根據行列式的性質：行列式與它的轉置矩陣行列式相等，顯然有，對一切；都成立，所以.3某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質定理3.1單位陣的伴隨矩陣仍為單位陣，即；零矩陣伴隨矩陣仍為零矩陣.定理3.2若是上（下）三角形矩陣，則也是上（下）三角形矩陣，并且之對角線上元素為之對角線除去對應位置上一元素后
5、余下的n-1個元素之積.證明設，當k＞1時，因為其中是所對應的代數余子式，于是，當時，=而故.這就是說19又=就證明了上三角的情形.同理可證明下三角的情形.對定理3.2有如下推論：推論對角矩陣的伴隨矩陣仍為對角矩陣，且定理3.3對稱矩陣的伴隨矩陣仍為對稱矩陣，對合矩陣（）的伴隨矩陣仍為對合矩陣.證明由為對稱，可得，而即知是對稱的.若對合陣，，則，則，再由，即，得，所以，.這樣.因而是對合矩陣.定理3.4設為反對稱矩陣，即，19則即偶數階反對稱矩陣伴隨矩陣仍為反對稱矩陣，奇數階的反對稱矩陣的伴隨矩陣為對稱矩陣.證明由知，，若，那么，即是反對
6、稱陣.若，那么，即是對稱陣.對定理3.4有如下推論：推論設為非奇異矩陣，為反對稱矩陣，則是反對稱矩陣，即是反對稱矩陣.證明因為為反對稱矩陣，所以也是反對稱矩陣，于是有上式兩邊左乘得因此，有；故為反對稱，也為反對稱.定理3.5初等矩陣的伴隨矩陣分別為.證明定理3.6①若是第一類正交矩陣，即，則；19②若是第二類正交矩陣，即，則；③若是階非零方陣且,則正交；證明①②：若正交，則且，于是③：若，并設，分兩種情況；ⅰ）若，那么代數余子式；把按第行展開得又知，所以，所以，即正交ⅱ）若，那么的代數余子式，把按第行展開得，所以所以，即正交.對定理3.6
7、有如下兩個推論：推論1若為正交矩陣，則也為正交矩陣.證明為正交陣，則有，故有19所以為正交矩陣.推論2若為正交矩陣，則也為正交矩陣.證明由于為正交矩陣，則可逆，，故所以，為正交矩陣.定理3.7定義若，則稱為自伴隨矩陣.（1）零矩陣、單位矩陣均為自伴隨矩陣；（2）兩自伴隨矩陣之積為自伴隨矩陣的充要條件是兩矩陣可交換；（3）若為自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣；（4）若為非奇異自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣；（5）若為自伴隨矩陣，則也為自伴隨矩陣.對定理3.7有如下兩個推論：推論1為自伴隨矩陣，若不是可逆的，則.證明為n階自伴隨矩陣，則，若，則，所
8、以；19若，則.由，可得，所以.下證這種情況不可能出現(xiàn)，可設其中，，由為自伴隨矩陣，所以，而得，但不同時為零，不同時為零，此方程無解，所以這種情況不可能出現(xiàn)，因此結論成立.推論2行列式值為1的
