高數(shù)教案第1章.ppt

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1、第一章函數(shù)1.1函數(shù)的概念1.2函數(shù)的簡單性質(zhì)1.3反函數(shù)1.4復(fù)合函數(shù)1.5初等函數(shù)1.1函數(shù)的概念1.1.1實數(shù)的絕對值與不等式根據(jù)定義，明顯地有并且，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時，此外，還有設(shè)a為任意實數(shù)，則定義a的絕對值為從幾何圖形上來看，就是原點到a點的距離，而則為a、b兩點之間的距離。又對于任意兩個實數(shù)a和b，有解：式1不等式等價于式2解：由及相加由式1即得把這個不等式推廣，得式3解：因為，由式2得又因為，故由式2得合并以上結(jié)果得由式1得1.1.2變量與常量在研究事物運(yùn)動的過程中可取不同數(shù)值的量。變量：在研究事物

2、運(yùn)動的過程中數(shù)值保持不變的量。常量：在高等數(shù)學(xué)中，常用各種區(qū)間表示變量的取值范圍，借助于集合符號將其表示為：開區(qū)間閉區(qū)間左開右閉區(qū)間左閉右開區(qū)間無窮區(qū)間部分區(qū)間在數(shù)軸上的表示（）(a,b)以上各區(qū)間中a和b稱為區(qū)間的端點，a稱為左端點，b稱為右端點。屬于區(qū)間內(nèi)而不是端點的點稱為內(nèi)點。（(a,+∞)）(-∞,b)開區(qū)間稱為點a的δ鄰域（或稱點a的鄰域），記作U(a,δ)，a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑；而對于點a除外的鄰域稱為去心鄰域，記作a()()a1.1.3函數(shù)概念設(shè)有一變量x，它的取值范圍是一數(shù)集X，如果

3、在X內(nèi)所取的每一數(shù)值x，根據(jù)以確定法則f()，有另一變量y的唯一確定的數(shù)值與它相對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，記作定義1稱x為自變量，y為因變量。X稱為函數(shù)f(x)的定義域，記為D(f)，y值構(gòu)成的數(shù)值Y稱為函數(shù)f(x)的值域，記為R(f)。如果函數(shù)的定義域為區(qū)間，則稱這區(qū)間為函數(shù)的定義區(qū)間。定義2設(shè)X和Y是兩個數(shù)集，f是XY的映射，則稱f是定義在X上的函數(shù)，記作或此時f的定義域D(f)=X，值域例如，函數(shù)，它們的定義區(qū)間是；它的定義區(qū)間是而函數(shù)約定：當(dāng)不考慮函數(shù)中兩個變量所表示的實際意義時，函數(shù)的定義域?qū)⒂山馕鍪奖旧?/p>

4、來決定。在函數(shù)定義中，重要的是必有一確定法則存在。據(jù)此，自變量取定后，函數(shù)隨著必有唯一的定值，至于法則的內(nèi)容，是否能用一個公式加以表述，是另一回事，不是函數(shù)定義所要求的。例如是一個函數(shù)，其中y隨x而定的法則，用兩個公式分別來說明，這種表達(dá)形式的函數(shù)常稱為分段函數(shù)。只要有一條明確的法則，不問其內(nèi)容、說明方式如何，當(dāng)自變量在某數(shù)集內(nèi)任取一值時，必有因變量的唯一數(shù)值，依據(jù)次法則隨著而定，那么，這就是一個函數(shù)，它的法則常用記號表達(dá)。對函數(shù)定義域內(nèi)任何x運(yùn)用法則，從而獲得的，它就是對應(yīng)于x的y值：，稱為x的函數(shù)值。不同的法

5、則用不同的符號來表示，例如等等。有時，也用來表示因變量y的對應(yīng)法則。例1符號函數(shù)（也稱克羅內(nèi)克爾函數(shù)）：通過它可以表示任何實數(shù)x的絕對值：因此起了x的符號作用，故稱它為符號函數(shù)。例2取整函數(shù)：對于任意實數(shù)x，對應(yīng)的y是不超過x的最大整數(shù)，記作列出它的幾個函數(shù)值：例3狄利希萊函數(shù)：在討論函數(shù)時除了對應(yīng)法則之外，還應(yīng)注意它的定義域。x在X中取值確定的法則對應(yīng)于x的y值1.1.4隱函數(shù)與顯函數(shù)平面上一條直線的方程是這是一個二元一次方程，其中x及y不能各自獨立地取值，為了能滿足方程，y當(dāng)然不能任意取值。這樣一個方程表示兩

6、個變量間相依而變的關(guān)系。若指定x為自變量，y為因變量，則當(dāng)時，它的對應(yīng)法則是因而方程確定了函數(shù)y，稱y是自變量x的隱函數(shù)。設(shè)有兩個變量x、y的方程為如果存在一個函數(shù)，將它帶入上列方程，得恒等式則稱方程定義了y為x的隱函數(shù)。如果函數(shù)y能夠通過自變量x直接表達(dá)為形式，則稱為顯函數(shù)。橢圓方程定義了y為x的銀行數(shù)，它的顯函數(shù)為或顯函數(shù)與隱函數(shù)沒有嚴(yán)格的界限，有時可以從隱函數(shù)解出顯函數(shù)來。但是一般說來，解一個方程并不容易，因此將隱函數(shù)化為顯函數(shù)就有一定困難。1.2函數(shù)的簡單性質(zhì)為了使函數(shù)的規(guī)律性能有直觀形象，可對函數(shù)作圖：

7、應(yīng)用笛卡爾直角坐標(biāo)系，以x為橫坐標(biāo)，以對應(yīng)于x的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，作出平面上滿足這函數(shù)關(guān)系的點（x，y），這種點的集合（通常是曲線）構(gòu)成函數(shù)的圖形。為了使函數(shù)的規(guī)律性能有直觀形象，可對函數(shù)作圖：應(yīng)用笛卡爾直角坐標(biāo)系，以x為橫坐標(biāo)，以對應(yīng)于x的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，作出平面上滿足這函數(shù)關(guān)系的點（x，y），這種點的集合（通常是曲線）構(gòu)成函數(shù)的圖形。函數(shù)的幾個性質(zhì)（1）單值性根據(jù)函數(shù)的定義，在定義區(qū)間內(nèi)函數(shù)值是唯一的，這稱為函數(shù)的單值性。例如，由方程確定的關(guān)系式應(yīng)當(dāng)分別看作兩個函數(shù)而每一個都是單值的。函數(shù)的單值性，反映到它的圖

8、形上是：任何與Oy軸平行的直線，如果與它的圖形相交，只能有一個交點。xOxyy（2）奇偶性為偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖形對稱于原點，偶函數(shù)的圖形對稱于Oy軸。例如：設(shè)有函數(shù)，它的定義域X對稱于原點。如果對任何，恒有，則稱為奇函數(shù)；如果對于任何，恒有，則稱偶函數(shù)Oxyyox1奇函數(shù)oxyoxyxy–11o（3）單調(diào)性設(shè)有函數(shù)。對任意兩點統(tǒng)稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。嚴(yán)格單調(diào)增