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1、黎曼猜想1黎曼簡介2黎曼ζ函數及黎曼猜想3關于黎曼猜想證明的努力黎曼簡介黎曼(Riemann，GeorgeFriedrichBernhard，1826-1866)是黎曼幾何的創(chuàng)始人。他在讀博士學位期間，研究的是復變函數。他把通常的函數概念推廣到多值函數，并引進了多葉李曼曲面的直觀概念。他的博士論文受到了GAUSS的贊揚，也是他此后十年工作的基礎，包括：復變函數在Abel積分和theta函數中的應用，函數的三角級數表示，微分幾何基礎等黎曼生平1826年，他出生于漢諾威王國（今德國）的小鎮(zhèn)布列斯倫茨（Breselenz）。他的父親弗雷德里?！げǘ鞴隆だ杪钱數氐穆返聲翈?。他在六個孩子中排行第二

2、。1840年，黎曼搬到漢諾威和祖母生活并進入中學學習。1842年祖母去世后，他搬到呂內堡的約翰紐姆。1846年，按照父親的意愿，黎曼進入哥根廷大學學習哲學和神學。在此期間他去聽了一些數學講座，包括高斯的最小二乘法的講座。在得到父親的允許后，他改學數學。1847年春，黎曼轉到柏林大學，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner門下。兩年后他回到哥廷根。1854年他初次登臺作了題為“論作為幾何基礎的假設”的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。他在1857年升為哥廷根大學的編外教授，并在1859年狄利克雷去世后成為正教授。1862年，他與愛麗絲·科赫（EliseKoch）結婚。1

3、866年，他在第三次去意大利的的途中因肺結核在塞拉斯卡（Selasca）去世。黎曼ζ函數黎曼猜想（RH）是關于黎曼ζ函數ζ(s)的零點分布的猜想。黎曼ζ函數在任何復數s≠1上有定義。它在負偶數上也有零點（例如，當s=?2,s=?4,s=?6,...）。這些零點是“平凡零點”。黎曼猜想關心的是非平凡零點。（非平凡零點(在此情況下是指s不為-2、-4、-6???等點的值)的實數部份是?。）黎曼ζ函數：黎曼ζ函數在臨界線Re(s)=1/2上的實部（紅色）和虛部（藍色）。我們可以看到最起初的幾個非平凡零點就位于Im(s)=±14.135,±21.022和±25.011上。黎曼ζ函數實部與虛部的數值比較

4、圖，也就是Re(ζ(s))vs.Im(ζ(s))，沿著臨界線s=it+1/2，t由0到34.黎曼猜想的提出黎曼函數非平凡零點的實數部份是?即所有的非平凡零點都應該位于直線?+ti（“臨界線”）上。t為一實數，而i為虛數的基本單位。沿臨界線的黎曼ζ函數有時通過Z-函數進行研究。它的實零點對應于ζ函數在臨界線上的零點。素數在自然數中的分布問題在純粹數學和應用數學上都很重要。素數在自然數中的分布并沒有簡單的規(guī)律。黎曼（1826--1866）發(fā)現素數出現的頻率與黎曼ζ函數緊密相關。1901年HelgevonKoch指出，黎曼猜想與強條件的素數定理等價。現在已經驗證了最初的1,500,000,000個素

5、數對這個定理都成立。但是是否所有的解對此定理都成立，至今尚無人給出證明。黎曼猜想所以被認為是當代數學中一個重要的問題，主要是因為很多深入和重要的數學和物理結果都能在它成立的大前提下被證明。大部份數學家也相信黎曼猜想是正確的（約翰.恩瑟.李特爾伍德與賽爾伯格曾提出懷疑。塞爾伯格于晚年部分改變了他的懷疑立場。在1989年的一篇論文中，他猜測黎曼猜想對更廣泛的一類函數也應當成立。）克雷數學研究所設立了$1,000,000美元的獎金給予第一個得出正確證明的人。黎曼猜想證明歷史黎曼1859年在他的論文überdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGr??e'中

6、提及了這個著名的猜想，但它并非該論文的中心目的，他也沒有試圖給出證明。黎曼知道ζ函數的不平凡零點對稱地分布在直線s=?+it上，以及他知道它所有的不平凡零點一定位于區(qū)域0≤Re(s)≤1中。1896年，雅克.阿達馬和CharlesJeandelaVallée-Poussin分別獨立地證明了在直線Re(s)=1上沒有零點。連同了黎曼對于不非凡零點已經證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處于區(qū)域0

7、一覺醒來已是五百年后他將做什么時，希爾伯特有名地說過他的第一個問題將是黎曼猜想有否被證明。(Derbyshire2003:197;Sabbagh2003:69;Bollobas1986:16).黎曼猜想是希爾伯特問題中唯一一個被收入克雷數學研究所的千禧年大獎數學難題的。大衛(wèi).希爾伯特1914年，高德菲哈羅德哈代證明了有無限個零點在直線Re(s)=?上。然而仍然有可能有無限個不平凡零點位于其它地方（