三角形的內(nèi)角和定理的證明.ppt

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1、三角形內(nèi)角和定理的證明武漢市人民中學(xué)李治華我們知道三角形三個內(nèi)角的和等于1800.你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?112ABD23C(1)如圖,當(dāng)時我們是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不實(shí)際移動∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達(dá)到同樣的效果?(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于1800.已知:如圖6-9,△ABC.求證:∠A+∠B+∠C=1800.證明:作BC的延長線CD,過點(diǎn)C作CE∥AB,則你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?.∠1=∠A(

2、兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=1800(等量代換).分析:延長BC到D,過點(diǎn)C作射線CE∥AB,這樣,就相當(dāng)于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.這里的CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫成虛線.ABCE213D在證明三角形內(nèi)角和定理時,把三個角“湊”到A處,過點(diǎn)A作直線PQ∥BC(如圖),你認(rèn)為這個想法可以嗎?小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?證明:過點(diǎn)A作PQ∥BC,則ABC∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)

3、,又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代換).所作的輔助線是證明的一個重要組成部分,要在證明時首先敘述出來.PQ231ABC證明：過A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代換)E已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°ABCPQR證明：過點(diǎn)P作PQ∥AC交AB于Q點(diǎn)，作PR∥AB交AC于R點(diǎn)?！嗨倪呅蜛QPR是平行四邊形（平行四邊形的定義）∴∠QPR=∠A（平行四邊形的對角相等）∠RPC=∠B（兩直線平行，同位

4、角相等）∠QPB=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠QPB+∠QPR+∠RPC=180°（1平角=180°）∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°試試其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？添加輔助線思路：1、構(gòu)造平角2、構(gòu)造同旁內(nèi)角ABCE圖1EABCDF圖2ANBCTS圖3PQRMANBCTS圖4PQRM（ABCEDF（（1234（圖5）AE）12BCD圖6…………證明：在△ABC中∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理）∠C=90°（已知）∴∠A+∠B+90°=180°（等量代換）∴∠A+∠B=180°－90°=90°（等式性

5、質(zhì)）即∠A+∠B=90°ABC已知：在△ABC中，∠C＝90゜求證：∠A＋∠B＝90゜隨堂練習(xí)1.直角三角形的兩銳角之和是多少度?等邊三角形的一個內(nèi)角是多少度?請證明你的結(jié)論.已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求證：∠ADE=500..隨堂練習(xí)DCBAEABCABC結(jié)論:直角三角形的兩個銳角互余.以后可以直接運(yùn)用.用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)理解和認(rèn)識數(shù)學(xué)在△ABC中,如果BC不動,把點(diǎn)A“壓”向BC,那么當(dāng)點(diǎn)A越來越接近BC時,∠A就越來越大(越來越接近1800),而∠B和∠C,越來越小(越來越接近00).由此你能想到什么?如果BC不動,把點(diǎn)A“拉離”BC,那么當(dāng)A越來

6、越遠(yuǎn)離BC時,∠A就越來越小(越來越接近00),而∠B和∠C則越來越大,它們的和越來越接近1800,當(dāng)把點(diǎn)A拉到無窮遠(yuǎn)時,便有AB∥AC,∠B和∠C成為同旁內(nèi)角,它們的和等于1800.由此你能想到什么?讀一讀CBACBA證明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）∵∠C=700（已知）∴∠AED=700（等量代換）∵∠A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）∠A=600（已知）∴∠ADE=1800-600-700=500（等量代換）即∠ADE=500DCBAE已知：如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.求證：∠ADE=500隨堂練習(xí)

7、3、如圖，直線AB∥CD,在AB、CD外有一點(diǎn)P，連結(jié)PB、PD，交CD于點(diǎn).則∠B、∠D、∠P之間是否存在一定的大小關(guān)系？隨堂練習(xí)ABCPDE它們關(guān)系是怎樣的？并加以證明.三角形中最大的角是，那么這個三角形是銳角三角形。（）2一個三角形中最多只有一個鈍角或直角。（）3一個等腰三角形一定是銳角三角形。（）4一個三角形最少有一個角不大于。（）動腦筋：×√√√我們證明了三角形內(nèi)角和定理。證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線將原三角形