第07講類(lèi)比推理.doc

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1、思維力第7講類(lèi)比推理應(yīng)知：類(lèi)比包括概念類(lèi)比，命題類(lèi)比和方法類(lèi)比。使用類(lèi)比推理推出來(lái)的結(jié)論不一定正確。應(yīng)會(huì)：利用類(lèi)比推理協(xié)助解題。類(lèi)比就是一種相似，它可以是概念的類(lèi)比，命題的類(lèi)比，也可以是方法的類(lèi)比。1．概念的類(lèi)比從一個(gè)正確的概念可能推出另一類(lèi)似的概念。例1.（高一）長(zhǎng)方體可以和長(zhǎng)方形類(lèi)比。長(zhǎng)方體各面的關(guān)系與長(zhǎng)方形各邊的關(guān)系相似：長(zhǎng)方形的每一邊與另一邊平行，而與其余的邊垂直——長(zhǎng)方體的每一面與另一面平行，而與其余的面垂直。如果把邊稱(chēng)為長(zhǎng)方形的邊界元素，把面稱(chēng)為長(zhǎng)方體的邊界元素，則可以把長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方體的上述性質(zhì)統(tǒng)

2、一為“每一邊界元素與另一邊界元素平行，而與其余的邊界元素垂直”。2．命題的類(lèi)比從一個(gè)正確的命題可能推出另一類(lèi)似的命題。例2.（高一）平面中有“平行于同一直線的兩直線平行”這條定理，因?yàn)榭臻g的“面”類(lèi)似于平面中的“線”，那么在空間很可能有定理“平行與同一平面的兩平面平行”。例3.（高一）平面中有“過(guò)已知直線外一點(diǎn)可以作而且只可以作一條直線與已知直線平行”這條定理，因?yàn)榭臻g的“面”類(lèi)似于平面中的“線”，那么在空間很可能有定理“過(guò)已知平面外一點(diǎn)可以作而且只可以作一個(gè)平面與已知平面平行”。例4.(初三)有定理“以直角

3、三角形的斜邊為邊的正方形的面積等于分別以?xún)芍苯沁厼檫叺恼叫蚊娣e的和”，那么也可能有定理“以直角三角形的斜變?yōu)檫叺亩噙呅蔚拿娣e等于分別以?xún)芍苯亲優(yōu)檫叺亩噙呅蚊娣e的和”。備用例.德國(guó)地質(zhì)學(xué)家魏格納在第一次世界大戰(zhàn)時(shí)應(yīng)征入伍，有一次因?yàn)槭軅∵M(jìn)了后方醫(yī)院。病房的墻壁上正好掛著一幅世界地圖，他臥床凝視地圖，發(fā)現(xiàn)大西洋兩岸的海岸線怎么如此相似，就像一張隨意撕成兩半的紙一樣。據(jù)此他做出了類(lèi)比推理：“大西洋兩岸本來(lái)是一個(gè)整塊，后來(lái)受到某種影響而發(fā)生了漂移?！边@就是有名的“大陸漂移”學(xué)說(shuō)。3．方法的類(lèi)比用一個(gè)已掌握的方法來(lái)

4、解決相同類(lèi)型的問(wèn)題。例5.（高一）解方程。該方程既非冪方程，又非指數(shù)方程（稱(chēng)為超越方程）。如果我們能將其化為冪方程或指數(shù)方程就能解了。因?yàn)榈讛?shù)是變量，要化為指數(shù)方程顯然是不可能的，我們?cè)囋嚳茨懿荒軐⑵浠癁閮绶匠獭Ａ?，則原方程變?yōu)?。由得：。把它代入得：。兩邊同時(shí)5次方得：。該方程有唯一解：y=5。所以。思維力例6（高一）P-ABC是三棱錐，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直。求證：CABD分析：本題類(lèi)似于平面幾何中的勾股定理，那么能不能用與證勾股定理類(lèi)似的方法來(lái)證明呢？證勾股定理的步驟是：①作CD⊥AB于D，證明D是

5、AB的內(nèi)分點(diǎn)；②證明AC=AD?AB，BC=BD?AB；PABCD③由①②得：AC+BC=AB?（AD+BD）=AB。相應(yīng)地，本題證明步驟如下：①作PD⊥平面ABC于D；證明D是ΔABC的內(nèi)點(diǎn)；②證明=?=?=?。③由①②得：例7（高二）A、B、C分別是ΔABC的三個(gè)內(nèi)角，x、y、z三個(gè)都不為零的任意實(shí)數(shù)。求證：x+y+z≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosC。分析：試一試，把它看成關(guān)于x的不等式來(lái)證明行不行？證明：設(shè)ω=x+y+z-2yzcosA-2xzcosB-2xyxosC=x-2(zcosB

6、+ycosC)x+y+z-2yzcosA∵x項(xiàng)的系數(shù)為1>0，∴ω的圖像開(kāi)口向上。又△x=4(zcosB+ycosC)-4(y+z-2yzcosA)=-4(zsinB-ysinC)≤0?！唳氐膱D像于x軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)?！唳亍?，即x+y+z≥2yzcosA+2xzcosB+2xyxosC。例8（高三）求（1+2x-3x）展開(kāi)式中的x的系數(shù)。分析：我們學(xué)過(guò)二項(xiàng)式定理，現(xiàn)在遇到三項(xiàng)式的問(wèn)題，怎么辦？能不能把三項(xiàng)式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題呢？如果我們把2x-3x看成一個(gè)整體，原來(lái)的多項(xiàng)式就成為[1+(2x-3x)

7、]，是一個(gè)二項(xiàng)式的問(wèn)題了！解：∵（1+2x-3x）=[1+(2x-3x)]。它的一般項(xiàng)可以寫(xiě)成：T=C?(2x-3x)，其中k=0,1,2……6，又∵(2x-3x)的一般項(xiàng)可以寫(xiě)成：T=C?（-3x）（2x）=C?（-3）?2?x，其中r=0，1，2……k∴原式的一般項(xiàng)為C?C?（-3）?2?x，欲求x的系數(shù)，則k+r=5，即k=5-r?！遦=0,1,2……6，r=0，1，2……k，且r≤k?！鄏為0，1，2，對(duì)應(yīng)的k可為5、4、3?！嗾归_(kāi)式中的x的系數(shù)應(yīng)為：C?C?(-3)?2+C?C?(-3)?2+C?C

8、?(-3)?2=-168例9.（高一）求y=sinx-3sinx+的最小值。有人如下解，對(duì)嗎？思維力解：把sinx看成x，類(lèi)比于二次函數(shù)y=ax+bx+c來(lái)求最值，本題中的a=1，大于零，故圖像開(kāi)口向上，函數(shù)有最小值為：y=。答案：不對(duì)。錯(cuò)誤原因分析：我們先把函數(shù)用配方法化為：y=(sinx-)+1，括號(hào)里式子的值由于受到sinx取值范圍的限制而不可能為零，那么函數(shù)的最小值就不是1。這個(gè)函數(shù)雖然外表