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1、選修2—1第三章空間向量與立體幾何§3.1.3空間向量基本定理總第(3)教案（理科使用）一、【教學(xué)目標(biāo)】1、了解空間向量基本定理及其推論；2、理解空間向量的基底、基向量的概念二、【教學(xué)過程】問題1、右圖中的向量、、是不共面的三個向量，請問向量與它們是什么關(guān)系？由此可以得出什么結(jié)論？由此可知，始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量．問題2、如果向量、、分別和向量a、b、c共線，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc事實上，對空間任一向量，我們都可以構(gòu)造出上述平行六面體，由此我們得到了空間向量基本定理：如果三個
2、向量a、b、c不共面，那么對于空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．由上述定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成，我們把｛a、b、c｝叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量．說明：①空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．②一個基底是不共面的三個向量構(gòu)成的一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量．③如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底。特別地，當(dāng)一個正交基底的三個基向量都是單位向量時，稱這個基底為單位正交基底，通常用表示。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四個點，則對空間任
3、一點P，都存在一個惟一的有序?qū)崝?shù)組（x、y、z），使得。三、【典型例題】例1、如圖，在正方體OADB-CA'D'B'中，點E是AB與OD的交點，M是OD'與CE的交點，試分別用向量、、表示向量和。例2、已知空間四邊形OABC,其對角線為OB，AC，M,N分別是對邊OA,BC的中點，點G在線段MN上，且,用向量表示向量例3、如圖，已知ABCD為邊長等于1的正方形，設(shè)G是ABC的重心，E是SD上一點，且SE=3ED,試用基底表示向量例4、若是空間的一個基底，試判斷能否作為空間的一個基底？例5、已知平行六面體且用表示如下向量：（1）(2）(G為側(cè)面的中心）四、【課后作業(yè)】1、若是
4、空間一個基底，實數(shù)使，則。2、在四面體中，O為PBC的重心，若，則,,。3、已知空間四邊形OABC中，點M，N分別是OA，BC的中點，且試用向量表示向量=。4、已知正方體中，側(cè)面的中心是F，若,則=，。5、在四面體中，D為BC的中點，E為AD的三等分點，且AE=則。6、已知四邊形ABCD中，，對角線AC,BD的中點分別為E,F，則。7、已知空間四邊形OABC，其對角線為OB,AC,M,N分別是對邊OA,BC的中點，點G在線段MN上，且MG=GN，用向量表示向量8、如圖，在三棱柱中，已知點M.N分別是的中點，試用基底表示向量9、在長方體中，點E,F分別是和的中點。（1）證明：
5、A,E,,F四點共面；（2）若求的值。10、已知是空間的一個基底，設(shè)（1）證明：也是空間的一個基底（2）若向量，求向量在基底下的表達(dá)式
