空間向量（3）

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1、選修2—1第三章空間向量與立體幾何§3.1.3空間向量基本定理總第(3)教案（理科使用）一、【教學(xué)目標(biāo)】1、了解空間向量基本定理及其推論；2、理解空間向量的基底、基向量的概念二、【教學(xué)過程】問題1、右圖中的向量、、是不共面的三個(gè)向量，請(qǐng)問向量與它們是什么關(guān)系？由此可以得出什么結(jié)論？由此可知，始點(diǎn)相同的三個(gè)不共面向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所示向量．問題2、如果向量、、分別和向量a、b、c共線，能否用向量a、b、c表示向量？＝xa+yb+zc事實(shí)上，對(duì)空間任一向量，我們都可以構(gòu)造出上

2、述平行六面體，由此我們得到了空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)于空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa+yb+zc．由上述定理可知，空間任一向量均可以由空間不共面的三個(gè)向量生成，我們把｛a、b、c｝叫做空間的一個(gè)基底，a、b、c都叫做基向量．說明：①空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．②一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量．③如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩互相垂直，那么這個(gè)基底叫做正交基底。特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基

3、向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用表示。推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四個(gè)點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在一個(gè)惟一的有序?qū)崝?shù)組（x、y、z），使得。三、【典型例題】例1、如圖，在正方體OADB-CA'D'B'中，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn)，M是OD'與CE的交點(diǎn)，試分別用向量、、表示向量和。例2、已知空間四邊形OABC,其對(duì)角線為OB，AC，M,N分別是對(duì)邊OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且,用向量表示向量例3、如圖，已知ABCD為邊長(zhǎng)等于1的正方形，設(shè)G是ABC的重心，E是SD上一點(diǎn)，且SE=3ED,試

4、用基底表示向量例4、若是空間的一個(gè)基底，試判斷能否作為空間的一個(gè)基底？例5、已知平行六面體且用表示如下向量：（1）(2）(G為側(cè)面的中心）四、【課后作業(yè)】1、若是空間一個(gè)基底，實(shí)數(shù)使，則。2、在四面體中，O為PBC的重心，若，則,,。3、已知空間四邊形OABC中，點(diǎn)M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，且試用向量表示向量=。4、已知正方體中，側(cè)面的中心是F，若,則=，。5、在四面體中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的三等分點(diǎn)，且AE=則。6、已知四邊形ABCD中，，對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F，則。7、已知空間四邊形OABC，其

5、對(duì)角線為OB,AC,M,N分別是對(duì)邊OA,BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且MG=GN，用向量表示向量8、如圖，在三棱柱中，已知點(diǎn)M.N分別是的中點(diǎn)，試用基底表示向量9、在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E,F分別是和的中點(diǎn)。（1）證明：A,E,,F四點(diǎn)共面；（2）若求的值。10、已知是空間的一個(gè)基底，設(shè)（1）證明：也是空間的一個(gè)基底（2）若向量，求向量在基底下的表達(dá)式