由協(xié)方差函數(shù)恢復(fù)諧波.pdf

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1、由協(xié)方差函數(shù)恢復(fù)諧波’V.F.Pisarenko(蘇聯(lián)科學(xué)院地球物理研究所)摘要本文介紹一種由協(xié)方差.這種方法的基礎(chǔ)是關(guān)于蘭角函數(shù)矩問(wèn)題函數(shù)恢復(fù)諧波的新方法。`,,的caarthoeodyr定理討論了這種方法與最大嫡譜估計(jì)法之間的關(guān)系研究了稍加噪聲分量的影響.還討論了一個(gè)數(shù)值例子.己,健全J11習(xí):最近發(fā)展了幾種估計(jì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和噪聲場(chǎng)的譜的新方法.,1`最大似然’n1969,估計(jì)法(份鉀).2`最大’`’EE,Burg,1972;r,嫡或自回歸估計(jì)法(在本文中我們稱(chēng)之為M見(jiàn)亦見(jiàn)Ulcyh,。n。l,72及工.00朋1971)P.r”(1969)從自回歸過(guò)程的觀點(diǎn)來(lái)

2、處理這種估計(jì)方法.3基于協(xié)方差矩陣的本征,nk.o值和本征矢量的譜估計(jì)法這是由本文作者提出的(iPsaer1。972)當(dāng)要,,,求譜峰有高的分辨力時(shí)這些方法特別有用它們已被應(yīng)用于各種各樣的科學(xué)領(lǐng)域,,、、。譬如在地球物理學(xué)方面用于研究地球的自由振動(dòng)地震表面波微震的譜等等在,-本文中我們還要介紹另外一種檢測(cè)譜峰的方法這是以關(guān)于三角函數(shù)矩間題的aCarht。。儀月。yr定理為基礎(chǔ)的同時(shí)我們要證明MEE事實(shí)上是我們新方法的平滑形式在本文的最后,。一節(jié)我們研究在記錄中加上少量噪聲對(duì)這種估計(jì)方法的影響一、由協(xié)方差函數(shù)的有限截段恢復(fù)譜的問(wèn)題,,,*。設(shè)《灼為一復(fù)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)

3、是廣義的它取決于離散的時(shí)間(譬如見(jiàn)Dob1953)。假定該過(guò)程的平均值為零過(guò)程城t)的譜函數(shù)F(入)與其協(xié)方差函數(shù)B(的的關(guān)系為萬(wàn)二。XB(“)一(:)p(““)`F(`)““(O一!{一(1),。當(dāng)假定男(t)是實(shí)過(guò)程時(shí)我們將明確地說(shuō)明,尸:若F。)絕對(duì)連續(xù)它的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為譜密度。)二F`入P(入)()(皿),十一尸(j一,如果F。)在頻率與處有一階躍jP即若F(凡0)入0)=jP則如果我們引入占函數(shù)“”..RetrievalofHarmonics介oma偽vairanee凡netionhTeGeoph鄧icalJournaloftheRoyal....Astnoea

4、oeetyVol,3,9ormilsi33吻1973:。估計(jì)其意思為x(t)為復(fù)廣義平穩(wěn)的隨機(jī)序列譯注—4一,;,,的話(huà)(幻依然成立在這種情況下p。)包含內(nèi)占價(jià)一入,)分量協(xié)方差函數(shù)B(幻包含諧沙。尸sexp(`入,k)假,定我們有一段長(zhǎng)為Zm的協(xié)方差函數(shù)即我們有一B(無(wú))?！稛o(wú)(。(3)真實(shí)的譜?,函數(shù)F位)將是怎么樣的呢開(kāi)始我們假定值B(幻完全已知沒(méi)有任何噪聲或誤。差.引+1:理1設(shè)B(k)的截段使得協(xié)方差矩陣B(二階)是非退化的,.一。一。.1,。召于{B(無(wú)j)},…(4),。則存在無(wú)窮多個(gè)譜函數(shù)F。)在}倒(.時(shí)與給定的函數(shù)B(的的關(guān)系為方程(l),二:為

5、證明這個(gè)引理考慮MEE尸(入)·。。。。*一一’p(入月,一p(““)<入、!卜}鬢{一(5)k,;,,一。.:,,.。`’,其中{月}…是矩陣B的逆這種估計(jì)方法稱(chēng)為最大嫡估計(jì)法因?yàn)樵跐M(mǎn)足關(guān)系:二(派)一一p(““,p(入,d入一B(“,“,,《。!{,二nnon,。,的所有譜密度函數(shù)中它使`積分(,二)一109”(入)d`為最大(見(jiàn)S協(xié)`。48)應(yīng)注意!in,,P式入)正好是.階自回歸過(guò)程的譜密度(見(jiàn)eJiksn及Watst1970)這種過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)。的前m個(gè)值等于B(的截段的那些給定值,,因?yàn)榧俣˙是正定的故對(duì)于足夠小的腸R~B一種I也將是正矩陣(腸)定的(

6、這里I表示一1。,:。階單位矩陣)種B可表為兩個(gè)正定矩陣之和所以對(duì)于足夠小的B=R(林)+燦I(6).,*,。.:.,,用{八}介…表示R(林)的逆我們得到一族譜密度”刁r。。。r。`exp一`入“()(7)…轟。,7它們精確地相應(yīng)于協(xié)方差函數(shù)B(的的給定截段我們注意到()中的第二項(xiàng)表示協(xié)方差函數(shù)。。中的占函數(shù)林6伍)引理1得證reo,一二。二的任。,由以athedyr定理(見(jiàn)下面第二節(jié))可得對(duì)于滿(mǎn)足<入<何入總存在一譜,,。,函數(shù)F。)它相應(yīng)于B認(rèn))的給定截段并在頻率入上有一階躍同時(shí)也有可能選擇一個(gè)畫(huà),,:,,。數(shù)尸仆)在任何預(yù)先定好的有限頻集凡入…入上有階躍(雖

7、然這些階躍的幅度不能任意率地選擇,,。當(dāng)增加時(shí)這些幅度一般趨于零),所以如果一離散時(shí)間函數(shù)的譜估計(jì)值是由協(xié)方差函數(shù)的有限截段得到的并且相應(yīng)協(xié)方,,差矩陣是非退化的則必須考慮到即協(xié)方差函數(shù)的值精確地已知也存在無(wú)窮多個(gè)相應(yīng)的譜使。,,函數(shù)同時(shí)在任何頻率入上不存在譜密度的上界因?yàn)榭偪梢园才乓粋€(gè)占函數(shù)出現(xiàn)于頻率。,入處盡管如此在這種情況下對(duì)用某種譜窗平滑過(guò)的那些譜函數(shù)還是能夠得到某種上界和下。。界的特別有如下定理成立,,,r,,w入2,定理設(shè)恤)為一譜窗即的一個(gè)實(shí)周期函數(shù)周期為可微次(>l)并`r’}。(入)}(K。BF。這里K為某個(gè)常數(shù)我們用(勸表示與譜函數(shù)(勸的關(guān)系