閱讀與思考函數(shù)概念的發(fā)展歷程.ppt

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1、函數(shù)概念的發(fā)展歷程德國(guó)F.克萊因：F.克萊因（F.Klein,1849—1925）“函數(shù)概念，應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教育的靈魂?！薄耙院瘮?shù)概念為中心，將全部數(shù)學(xué)教材集中在它周圍，進(jìn)行充分地綜合。”一、函數(shù)概念的形成與演變1．函數(shù)以表格、曲線形態(tài)呈現(xiàn)一一對(duì)應(yīng)思想是函數(shù)概念形成的基礎(chǔ)約在3萬年前伏羲時(shí)代IIIIIIIVV公元前1600年以前巴比倫人的數(shù)學(xué)泥板晷影差分表唐一行(張遂,683～727)在14世紀(jì)，法國(guó)奧雷斯姆(N.Oresme，1320-1382)運(yùn)用曲線表示速率與時(shí)間之間的關(guān)系函數(shù)的早期形態(tài)。在17世紀(jì)，函數(shù)更多地以曲線的

2、形態(tài)呈現(xiàn)出來如logx,sinx，等初等超越函數(shù)做曲線來研究的。2.函數(shù)是變量function[‘f??k??n]：①功能，作用②職務(wù)，職責(zé)③盛大宴會(huì)、儀式④【數(shù)】函數(shù)“function”(函數(shù))一詞，在數(shù)學(xué)中最初出現(xiàn)在解不定方程。已經(jīng)蘊(yùn)含了一種依賴關(guān)系1673年，德國(guó)萊布尼茲的手稿里“function”-----表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量。萊布尼茲（G.W.Leibniz,1646-1716）“萬能大師”1692年，萊布尼茲第一次明確給出了函數(shù)定義:“像曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長(zhǎng)度、垂線的長(zhǎng)度等，

3、所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量，即稱為函數(shù).”此詞出現(xiàn)前，Newton一直用“流量”一詞來表示變量間的關(guān)系。3．函數(shù)是解析式1718年，約翰·伯努利打破幾何思想的束縛，給函數(shù)如下定義:“變量的函數(shù)是由這個(gè)量和常量組成的解析表達(dá)式.”（第一次擴(kuò)充）約翰·伯努利(JohannBernoulli，1667～1748年)瑞士數(shù)學(xué)家·歐拉(LeonardEuler，1707～1783)瑞士數(shù)學(xué)家變數(shù)(x)和常數(shù)之間由加、減、乘、除、開方、三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)等算法所構(gòu)成的式子均稱之為“解析的函數(shù)”。1734年，歐拉以“f()”表示函數(shù)，是數(shù)學(xué)

4、史上首次以“f”表示函數(shù)。f(x)取自"function"一詞的第一個(gè)字母。但他認(rèn)為一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析表達(dá)式，一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一條連續(xù)曲線。1748年，毆拉為使函數(shù)概念適應(yīng)積分的需要，定義“函數(shù)是由手隨意畫的曲線”。曲線分為三種:(1)能用語言或等式來表示曲線的本質(zhì)定義的(如圓)叫第一種;(2)無法用語言或等式來表示曲線的本質(zhì)的叫第二種;(3)用兩條以上第一種線所構(gòu)成的叫第三種.他認(rèn)為，只有第一種能用一個(gè)解析式y(tǒng)=f(x)或F(x,y)=0表示，其它兩種都不能.所以把第一種曲線的解析式y(tǒng)=f(x)稱為“真函數(shù)”，其它都是“偽

5、函數(shù)”.歐拉的這一函數(shù)概念受到達(dá)朗貝爾等人的嚴(yán)厲批評(píng)。數(shù)學(xué)家查爾斯（J.Charles）發(fā)現(xiàn)了即使是簡(jiǎn)單函數(shù)也存在著表達(dá)式不唯一的情形。如看來，一個(gè)函數(shù)就是一個(gè)解析式的論斷是站不住腳的。1755年，歐拉給出了一個(gè)新的函數(shù)定義:“如果某些量這樣地依賴于另一些量，當(dāng)后者改變時(shí)它經(jīng)受變化，那么稱前者為后者的函數(shù).”（第二次擴(kuò)充）4．函數(shù)是對(duì)應(yīng)在這個(gè)定義中，雖然包含了解析式給出的函數(shù)，也包含了曲線給出的函數(shù)，但并沒有指出“某些量”和“另一些量”依賴關(guān)系有何特性.柯西的函數(shù)定義:“對(duì)于x的每一個(gè)值，如果y有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y

6、叫做x的函數(shù).”（第三次擴(kuò)充）柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857）法國(guó)數(shù)學(xué)家這個(gè)定義打破了歐拉“真函數(shù)”與“偽函數(shù)”的概念，把用分段解析式表示的關(guān)系式納入函數(shù)定義，而且基本上擺脫了“解析表達(dá)式”的要求,側(cè)重于關(guān)于變量間關(guān)系的認(rèn)識(shí).不過柯西給出的具體例子仍考慮的是x和y的關(guān)系以若干個(gè)解析式表示的情形。也就是說，在18世紀(jì)，人們把函數(shù)只局限在初等函數(shù)范圍內(nèi)，至多限于分段函數(shù)。傅立葉(Fourier,1768～1830)法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家1807年,傅立葉在推導(dǎo)傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)可以表示成

7、一個(gè)無窮三角級(jí)數(shù)。高斯(Gauss,1777～1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家1812年，高斯(Gauss,1777～1855)把超幾何級(jí)數(shù)作為的函數(shù)，其表達(dá)式是無窮級(jí)數(shù).1837，狄利克雷給出了新的函數(shù)定義:“如果對(duì)于給定區(qū)間上x的所有值都對(duì)應(yīng)著完全確定的y值，則稱y是x的函數(shù).至于用怎樣的方法建立所指出的對(duì)應(yīng)關(guān)系完全不是重要的.”（第四次擴(kuò)充）狄利克雷(Dirichet,1805～1859)德國(guó)數(shù)學(xué)家他還舉出一個(gè)著名函數(shù)例子，以說明函數(shù)概念的一般性。狄利克雷的定義，避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，

8、簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受。至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。5．函數(shù)是關(guān)系法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)布（G.Darboux，1842－1917）給出另一個(gè)函數(shù)打破了人們對(duì)連續(xù)函數(shù)的直觀理解1861年舉出了一個(gè)處處連續(xù)，但處處不可微的函數(shù)例子“