閱讀與思考函數(shù)概念的發(fā)展歷程.ppt

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1、人教A版必修一函數(shù)概念的發(fā)展歷程函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一,縱觀300年來(lái)函數(shù)概念的發(fā)展,眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對(duì)應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想,從而推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展.本文擬通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究,對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行一些探索.1.、函數(shù)概念的縱向發(fā)展,早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略在《兩門新科學(xué)》一書(shū)中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。伽俐略G.Galileo，1564-1642意大利數(shù)學(xué)家1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)167

2、3年前后笛卡爾在他的解析幾何中，已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。笛卡爾Descartes1596-1650法國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲G．W．Leibniz1646－1716德國(guó)數(shù)學(xué)家1673年，萊布尼茲首次使用“function”(函數(shù))表示“冪”，后來(lái)他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用“流量”來(lái)表示變量間的關(guān)系。1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)約翰·伯努利（BernoulliJohan）1667-

3、1748瑞士數(shù)學(xué)家2、十八世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰·柏努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量。”強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來(lái)表示。歐拉L．Euler1707－1783瑞士數(shù)學(xué)家2、十八世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)18世紀(jì)中葉歐拉給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式?！睔W拉給出的函數(shù)定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子

4、表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新層次。傅里葉Fourier1768---1830法國(guó)數(shù)學(xué)家3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1821年，柯西從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”在定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式。不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限?？挛鰿auchy1789-185

5、7法國(guó)科學(xué)家狄利克雷P.G.L.Dirichlet1805－1859德國(guó)數(shù)學(xué)家3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1837年狄利克雷突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)。”這個(gè)定義避免了函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。3.十九世紀(jì)函數(shù)概念──對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)康托創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念

6、把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象?？低蠧antor1845-1918德國(guó)數(shù)學(xué)家維布倫（美）Veblen，1880-19604.現(xiàn)代函數(shù)概念──集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來(lái)定義函數(shù)，其避開(kāi)了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。費(fèi)利克斯·豪斯道夫FelixHausdorff1868—1942德國(guó)數(shù)學(xué)家4.現(xiàn)代函數(shù)概念──集合論下

7、的函數(shù)1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)??！本C上所述可知，函數(shù)概念的發(fā)展與生產(chǎn)、生活以及科學(xué)技術(shù)的實(shí)際需要緊密相關(guān)，而且隨著研究的深入，函數(shù)概念不斷得到嚴(yán)謹(jǐn)化、精確化的表達(dá)，這與我們學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程是一樣的。函數(shù)概念的發(fā)展歷程