柳蔭中學潘均2014暑期培訓作業(yè) (2).doc

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1、原題：如圖，AC是正方形ABCD的對角線，點O是AC的中點，點Q是AB上一點，連接CQ，DP⊥CQ于點E，交BC于點P，連接OP，OQ；求證：（1）△BCQ≌△CDP；（2）OP=OQ．證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，∴∠2+∠3=90°，又∵DP⊥CQ，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，在△BCQ和△CDP中，∠B=∠PCDBC=CD∠1=∠3．∴△BCQ≌△CDP． （2）連接OB．由（1）：△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，A

2、B=BC，而點O是AC中點，∴BO=AC=CO，∠4=∠ABC=45°=∠PCO，在△BOQ和△COP中，BQ=CP∠4=∠PCOBO=CO∴△BOQ≌△COP，∴OQ=OP．變式：如圖，AC是正方形ABCD的對角線，點O是AC的中點，點Q是AB延長線上一點，連接CQ，DE⊥QC延長線于點E，交BC于點P，連接OP，OQ；求證：（1）△BCQ≌△CDP；（2）OP=OQ．證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CBQ=∠DCP=90°，BC=CD，∴∠CDP+∠DPC=90°，又∵DP⊥CE，∴∠ECP+∠DPC=90°，

3、∴∠CDP=∠ECP=∠BCQ，∴在△BCQ和△CDP中，∠CBQ=∠DCPBC=CD∠CDP=∠BCQ．∴△BCQ≌△CDP． （2）連接OB．由（1）△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，而點O是AC中點，∴BO=AC=CO，∠ABO=∠ABC=45°=∠BCO，∴∠OBQ=∠OCP=180°-45°=135°在△BOQ和△COP中，BQ=CP∠OBQ=∠OCPBO=CO∴△BOQ≌△COP，∴OQ=OP．