資源描述：
《知識(shí)點(diǎn)44 曲率、曲率圓及曲率半徑.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、學(xué)科：高等數(shù)學(xué)第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)44曲率、曲率圓及曲率半徑相關(guān)概念、公式定理或結(jié)論●定義**●定理**●結(jié)論**考頻：1知識(shí)點(diǎn)44配套習(xí)題22例44.1(難度系數(shù)0.2)求半圓y?a?x的曲率.解析：通過求解一階、二階導(dǎo)數(shù)，代入曲率計(jì)算公式即可.22?x?a?x?x???222x?a?x?a解：y???,y??????，a2?x2a2?x23222?a?x?2a3222y???a?x?1K???，即圓的曲率為一常數(shù).332222a?1?y???x??1??22?a?x?2例44.2(難度系數(shù)0.
2、2)曲線y?ax?bx?c上哪一點(diǎn)曲率半徑最小.解析：通過求解一階、二階導(dǎo)數(shù)，先求出曲率，再利用頂點(diǎn)處曲率半徑最小來求解即可.解：y??2ax?b，y???2a，322y??2a1??1??2ax?b???K??，???，332222K2a?1?y???1??2ax?b????b顯然當(dāng)2ax?b?0時(shí)，即在x??處（頂點(diǎn)）曲率K最大，曲率半徑?最小.2a例44.3(難度系數(shù)0.4，跨知識(shí)點(diǎn)40)22若f??(x)不變號(hào)，且曲線y?f(x)在點(diǎn)?1,1?的曲率圓為x?y?2，則f(x)在區(qū)間?1,2?內(nèi)（）.(A)
3、有極值點(diǎn)，無零點(diǎn)(B)無極值點(diǎn)，有零點(diǎn)(C)有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)(D)無極值點(diǎn)，無零點(diǎn)解析：本題考查曲率圓.22由曲率圓的定義知，曲線y?f(x)在點(diǎn)?1,1?的曲率圓x?y?2與曲線有相同的切線、相同的曲率且在點(diǎn)?1,1?的鄰域內(nèi)有相同的彎曲方向，又f??(x)不變號(hào)，故22曲線y?f(x)在區(qū)間?1,2?內(nèi)的圖形介于曲率圓為x?y?2和切線x?y?2之間，顯然f(x)在區(qū)間?1,2?內(nèi)無極值點(diǎn)，有零點(diǎn).故選(B).解：選(B).例44.4(難度系數(shù)0.2)求下列曲線的曲率或曲率半徑.(1)求y?lnx在點(diǎn)?1,0
4、?處的曲率半徑.2(2)求x?t?ln(1?t)，y?arctant在t?2處的曲率.解析：通過求解一階、二階導(dǎo)數(shù)，代入曲率計(jì)算公式即可.11解：(1)y??，y????.2xx1y??x2x則在任意點(diǎn)x?0處，曲率為K???.于是曲線在333222222?1?y????1???1?x??1???????x???1點(diǎn)?1,0?處的曲率半徑???22.Kx?1(2)利用由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法則，得?d2y?1??dt?212?1?t2?dyy1t，，??????????22235dxxt?(t?1)dx?(t
5、?1)?dx(t?1)xt??t?1?y??52于是所求曲率為K??.3222?1?y??t?2例44.5(難度系數(shù)0.4跨知識(shí)點(diǎn)43)222?1??5?1已知拋物線y?ax?bx?c經(jīng)過點(diǎn)P?1,2?，且在該點(diǎn)與圓?x????y???相切?2??2?2，有相同的曲率半徑和凹凸性，求常數(shù)a,b,c.解析：由圓的曲率為一常數(shù)可得到拋物線在P?1,2?的曲率半徑，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)P?1,2?，拋物線與圓在點(diǎn)P?1,2?相切，可列出關(guān)于a,b,c的方程組，即可求出a,b,c.22?1??5?11解：圓?x????y???
6、的半徑為，所以在圓上任意一點(diǎn)的曲率為2?2??2?2222?1??5?1，由于點(diǎn)P?1,2?是下半圓上的一點(diǎn)，可知曲線?x????y???在點(diǎn)P?1,2?處?2??2?222?1??5?1為凹的，所以由?x????y???確定的連續(xù)函數(shù)y?y(x)在點(diǎn)P?1,2?處的?2??2?2y???0.又經(jīng)計(jì)算可知在點(diǎn)P?1,2?處的y??1.由題設(shè)條件知，拋物線經(jīng)過點(diǎn)P?1,2?，于是有a?b?c?2.拋物線與圓在點(diǎn)P?1,2?相切，所以在點(diǎn)P?1,2?處y??1，即有2a?b?1.又拋物線與圓在點(diǎn)P?1,2?有相同的曲
7、率半徑及凹凸性，因此有y??y??2a2???，3332222?1?y??22P解得a?2，從而b??3，c?2?a?b?3.例44.6(難度系數(shù)0.4)求曲線r?a?1?cos??的曲率.解析：利用參數(shù)方程求導(dǎo)法則，求解一階、二階導(dǎo)數(shù)，代入曲率計(jì)算公式即可.解：曲線的參數(shù)方程為x?rcos??a?1?cos??cos?，y?rsin??a?1?cos??sin?，x???asin??1?2cos????a?sin??sin2??，y??a?cos??cos2??，222x??y??a2?1?cos???2ar，
8、x????a?cos??2cos2??，y????a?sin??2sin2??，2x?y???x??y??a???sin??sin2???sin??2sin2????cos??cos2???cos??2cos2????2?3a?1?cos???3ar.x?y???x??y?3ar3因此曲率K???.33?x?2?y?2?2?2ar?222ar
