分類討論思想.ppt

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1、專題一第三講思想方法概述應用角度例析通法歸納領悟?qū)ｎ}專項訓練角度一角度二角度三1．分類討論思想的含義分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需要把研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答．實質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的解題策略．2．分類討論的常見類型有關分類討論的數(shù)學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：(1)由數(shù)學概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等．(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學定理、公式、

2、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．(3)由數(shù)學運算要求引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根被開方數(shù)為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等．(4)由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點、線、面的位置關系等．(5)由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法．(6)由實際意義引起的討論：此類問題常常出現(xiàn)在

3、應用題中，特別是排列、組合中的計數(shù)問題．3．分類討論解題的步驟(1)確定分類討論的對象：即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論．(2)對所討論的對象進行合理的分類．(3)逐類討論：即對各類問題詳細討論，逐步解決．(4)歸納總結(jié)：將各類情況總結(jié)歸納．由概念、法則、公式引起的分類討論(2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是()A．等差數(shù)列B．等比數(shù)列C．等差數(shù)列或等比數(shù)列D．以上都不對[思路點撥](1)由于題目中沒有明確此圓錐曲線是橢圓還是雙曲線，故應進行分類討論．(2)由于公式an＝Sn－Sn－1適用條件為n≥2，另外p的取值會影響數(shù)列的性質(zhì)，故應考慮分

4、類討論．(2)∵Sn＝pn－1，∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)，當p≠1，且p≠0時，{an}是等比數(shù)列；當p＝1時，{an}是等差數(shù)列．當p＝0時，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列．[答案](1)A(2)D(1)圓錐曲線沒有給定時，要討論是哪類圓錐曲線，否則會造成漏解.本題中由于所給曲線有兩個焦點，所以不必考慮拋物線.(2)本題的討論在于p的取值，同時對n的取值還要討論，極易錯誤地選取C的原因就是忽略了對n的討論.[例2](2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx

5、.(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a2＝4b時，求函數(shù)f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值．[思路點撥](1)由兩曲線在交點(1，c)處具有公切線知，f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)．由參數(shù)的變化而引起的分類討論(2)由于f(x)＋g(x)的單調(diào)區(qū)間與a或b有關，因此求其在區(qū)間(－∞，－1]上的最大值時應對a或b的取值進行分類討論．[解](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，因為曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1

6、)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.由于所求的變量或參數(shù)的取值不同會導致結(jié)果不同，所以要對某些問題中所求的變量進行討論；而有的問題中雖然不需要對變量討論，但卻要對參數(shù)討論.在求解時要注意討論的對象，同時應理順討論的目的.2．(2012·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(2x＋a)·ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))．(1)求函數(shù)f(x)的極小值；(2)對區(qū)間[－1,1]內(nèi)的一切實數(shù)x，都有－2≤f(x)≤e2成立，求實數(shù)a的取值范圍．[例3]拋物線y2＝4px(p>0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若△OPF為等腰三角形，

7、則這樣的P點的個數(shù)為()A．2B．3C．4D．6[思路點撥]由于本題只說明△OPF為等腰三角形，但是沒有明確三角形的頂點，因此應進行分類討論．根據(jù)圖形位置或形狀變化分類討論[答案]C本題的分類討論是由于點P的位置變化而引起的.一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖像形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；立體幾何中點、線、面的位置變化等.(5)冪函數(shù)y＝xa的冪指數(shù)a的正