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1、第五章矩陣對(duì)角化問題對(duì)階矩陣，1.方陣對(duì)角化的概念尋找相似變換矩陣，使這就稱為把方陣對(duì)角化.說明如果能找到可逆矩陣，使，則可對(duì)角化；如果找不到這樣可逆矩陣，則不可對(duì)角化.2.定理的引入設(shè)有可逆矩陣，使為對(duì)角陣.下面回答能否由確定.這表明的第個(gè)列向量是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，因而由和確定，也就是由確定.由于特征向量不是惟一的，所以矩陣也不是惟一確定的.反過來，是依次與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則設(shè)矩陣的個(gè)特征值為，當(dāng)可逆，即線性無關(guān)時(shí)，有這表明方陣能否對(duì)角化完全可用的特征值和特征向量來刻畫.由定理證明可知,如果矩陣A相似于對(duì)角矩陣,設(shè)則矩陣P的列是A的線性
2、無關(guān)的特征向量,對(duì)角矩陣的對(duì)角元素是P中列向量對(duì)應(yīng)的矩陣A的特征值.若則的主對(duì)角元素即為的特征值，3.方陣可對(duì)角化的充要條件定理4階矩陣與對(duì)角陣相似(即能對(duì)角化)的充要條件是有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.推論若階矩陣的個(gè)特征值互不相等，則與對(duì)角陣相似.(逆命題不一定成立）說明當(dāng)?shù)奶卣鞣匠逃兄馗鶗r(shí)，不一定有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對(duì)角化；但是，有重根時(shí)，也有可能能對(duì)角化.所以特征值互不相等只是與對(duì)角陣相似的充分條件.下述定理可將關(guān)于可對(duì)角化條件更精細(xì)地刻畫出來.定理:設(shè)是n階方陣A的全部不同的特征值,其重?cái)?shù)分別為則A可以對(duì)角化的充分必要條件為對(duì)應(yīng)
3、有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.注:對(duì)應(yīng)于的所有線性無關(guān)特征向量的基是的基礎(chǔ)解系.個(gè)向量,故n階方陣A可對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)A的每一個(gè)重特征根的基礎(chǔ)解系恰有當(dāng)且僅當(dāng)例判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解:得得基礎(chǔ)解系當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為得基礎(chǔ)解系線性無關(guān)即A有3個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A可以對(duì)角化。得基礎(chǔ)解系所以不能化為對(duì)角矩陣.當(dāng)時(shí)，齊次線性方程組為例設(shè)問為何值時(shí)，矩陣能對(duì)角化？解:析：此例是定理的應(yīng)用.定理表明：階矩陣可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)特征向量.由此可推得另一個(gè)充要條件：對(duì)的每個(gè)不同的特征值，的重?cái)?shù)=對(duì)應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)所
4、以的特征值為1(二重)，.對(duì)應(yīng)于單根，可求得線性無關(guān)的特征向量1個(gè)；對(duì)應(yīng)于二重特征值1，若能對(duì)角化，則要使，則即說明解答此題的關(guān)鍵是將取值條件“可對(duì)角化”轉(zhuǎn)化為“二重特征值1應(yīng)滿足”，從而求得.矩陣能否對(duì)角化，取決于它的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù)，而與的秩，的行列式都無關(guān).四.矩陣對(duì)角化的實(shí)現(xiàn)的步驟:若矩陣A可以對(duì)角化,(1)求出A的所有特征值其重?cái)?shù)分別為(2)對(duì)每一個(gè),求出的基礎(chǔ)解系,從而得對(duì)應(yīng)的個(gè)線性無關(guān)的特征向量(3)用(2)中求得的特征向量形成矩陣則有練習(xí):作業(yè)P1342,8(1,2),9,11,12,16
