資源描述：
《對稱矩陣的對角化.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、定理1>>>(實)對稱陣的特征值為實數(shù).定理2設(shè)l1,l2是對稱陣A的兩個不同特征值,p1,p2是對應(yīng)的特征向量,則p1與p2正交.證明由得于是因此即p1與p2正交.§4.2對稱矩陣的相似對角化定理3>>>設(shè)A為對稱陣,則必存在正交陣P,使其中L為對角陣,以A的特征值為對角元素.用正交的相似變換矩陣化對稱陣為對角陣的算法(1)求出n階對稱陣A的所有特征值li.(2)求(liE-A)x=0的一個規(guī)范正交基礎(chǔ)解系.(3)將求出的n個規(guī)范正交特征向量排成一個正交陣P,則P-1AP為對角陣.不妨設(shè)則有特別要注意的是,li與pi的位置次序一定要相同.例1設(shè)解方陣A的特征值為
2、得基礎(chǔ)解系方陣A的特征多項式為求一個正交陣P,使P-1AP為對角陣.當(dāng)l1=2時,解方程組單位化得當(dāng)l2=l3=-1時,解方程組得基礎(chǔ)解系規(guī)范正交化得例1設(shè)解方陣A的特征值為方陣A的特征多項式為求一個正交陣P,使P-1AP為對角陣.取正交陣例1設(shè)解求一個正交陣P,使P-1AP為對角陣.則有方陣A的特征值為方陣A的特征多項式為作業(yè)習(xí)題4.2:1.3.定理1實對稱陣的特征值為實數(shù).證明設(shè)a+bi為對稱陣A的任意一個特征值,令則A1仍為對稱陣,且有兩邊乘以得因此,存在非零向量p,使得于是由此可知b=0.證明對于一階對稱陣,定理顯然成立.假設(shè)對于n-1階對稱陣,定理成立.
3、設(shè)A為n階對稱陣,l1是對稱陣A的特征值,p1是對應(yīng)的單位特征向量.取方程正交基的解空間的一個規(guī)范令則H為正交陣,且有于是HTAH可以表為分塊形式定理3設(shè)A為對稱陣,則必存在正交陣P,使其中L為對角陣,以A的特征值為對角元素.證明定理3設(shè)A為對稱陣,則必存在正交陣P,使其中L為對角陣,以A的特征值為對角元素.易知A1為n-1階對稱陣.由歸納假設(shè),存在正交陣P1,使其中L1為對角陣.取且有則P為正交陣,因L與A相似,故L以A的特征值為對角元素.
