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《橢圓離心率求法總結(jié).doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、橢圓離心率的解法一、運用幾何圖形中線段的幾何意義。基礎(chǔ)題目：如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點，A為頂點，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,設(shè)橢圓的離心率為e，則①e=②e=③e=④e=⑤e=DBFOBBBAPQ評：AQP為橢圓上的點，根據(jù)橢圓的第二定義得，①②④?！撸麬O｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=∴有③。題目1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？BAF2F1思路：A點在橢圓外，找a、b、c的關(guān)系應(yīng)借助橢圓，所以取
2、AF2的中點B，連接BF1,把已知條件放在橢圓內(nèi)，構(gòu)造△F1BF2分析三角形的各邊長及關(guān)系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=cc+c=2a∴e==-1變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，點P在橢圓上，使△OPF1為正三角形，求橢圓離心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22解：連接PF2,則｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°圖形如上圖，e=-1變形2:橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1、F2，AB為橢圓的頂點，P是橢圓上一點，且PF1⊥X軸，PF2∥AB,求橢圓離心率？BA
3、F2F1PO解：∵｜PF1｜=｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴=又∵b=∴a2=5c2e=點評：以上題目，構(gòu)造焦點三角形，通過各邊的幾何意義及關(guān)系，推導(dǎo)有關(guān)a與c的方程式，推導(dǎo)離心率。二、運用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓+=1(a>b>0)，A是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，∠ABF=90°，求e?FBAO解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0兩邊同除以a2e2+e-1=0e=e=(舍去)變形：橢圓+=1(a>b>0)，e=,A
4、是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，求∠ABF？點評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、∠ABF=90°2、假設(shè)下端點為B1,則ABFB1四點共圓。3、焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長?？偨Y(jié)：焦點三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關(guān)e的方程式。題目3：橢圓+=1(a>b>0)，過左焦點F1且傾斜角為60°的直線交橢圓與AB兩點，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：設(shè)｜BF1｜=m則｜AF2｜=2a-am｜
5、BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：兩式相除=e=題目4：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓的一個交點，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。解：由正弦定理：==根據(jù)和比性質(zhì)：=變形得：====e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e==點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知e=變形1：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1（-c，0）、F2(c,0)，P是橢圓上一點，且∠F1PF2=60°，求e的取值
6、范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)∠F1F2P=α，則∠F2F1P=120°-αe===≥∴≤e<1變形2：已知橢圓+=1(t>0)F1F2為橢圓兩焦點，M為橢圓上任意一點（M不與長軸兩端點重合）設(shè)∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若b>0)，斜率為1，且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，+與=(3,-1)共線，求e?B(X2,Y2)
7、A(X1,Y1)O法一：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=y1+y2=-2c=+=(x1+x2,y1+y2)與（3，-1）共線，則-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=法二：設(shè)AB的中點N，則2=+①-②得：=-∴1=-(-3)既a2=3b2e=三、由圖形中暗含的不等關(guān)系，求離心率的取值范圍。題目6：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1（-c，0）、F2(c,0)，滿足1·2=0的點M總在橢圓內(nèi)部，則e的取值范圍？F2MF1O分析：∵1·2=0∴以F1F2為直徑作圓，M在
8、圓O上，與橢圓沒有交點。解：∴c2c2∴0
