對數(shù)函數(shù) 典型例題.doc

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1、對數(shù)函數(shù)例1?求下列函數(shù)的定義域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y=．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定義域為?｛x｜x＜-1，或x＞5｝．（2）令得故所求定義域為｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．（3）令，得故所求定義域為｛x｜x＜-1-，或-1-＜x＜-3,或x≥2｝．說明?求與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題，首先要考慮，真數(shù)大于零．底數(shù)大于零不等于1，若處在分母的位置，還要考慮不能使分母為零．例2?求下列函數(shù)的單調區(qū)間．（1）y=log2（x-

2、4）；???（2）y=log0．5x2．解：（1）定義域是（4，+∞），設t=x-4,當x＞4時，t隨x的增大而增大，而y=log2t，y又隨t的增大而增大，∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的遞增區(qū)間．（2）定義域｛x｜x∈R，且x≠0｝，設t=x2，則y=log0．5t當x＞0時，t隨x的增大而增大，y隨t的增大而減小，∴（0，+∞）是y=log0．5x2的遞減區(qū)間．當x＜0時，t隨x的增大而減小，y隨t的增大而減小，∴（-∞，0）是y=log0．5x2的遞增區(qū)間．例3?比較大?。海?）log0．71．3和log0

3、．71．8．（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）對數(shù)函數(shù)y=log0．7x在（0，+∞）內是減函數(shù)．因為1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指數(shù)函數(shù)的底，本題歸為比較兩個指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，故需對底數(shù)lgn討論．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10時，y=（lgn）x在R上是減函數(shù)，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10時，y=（lgn）2在R上是增函數(shù)，所以（lgn）1．7＞（

4、lgn）2．（3）函數(shù)y=log2x和y=log5x當x＞1時，y=log2x的圖像在y=log5x圖像上方．這里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，須找出中間量“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可求解．因為log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．評析?要注意正確利用對數(shù)函數(shù)的性質，尤其是第（3）小題，可直接利用例2中的說明得到結論．例4?已知函數(shù)f（x）=loga（a-ax）（a＞1），（1）求f（x）的定義域、值域．（2）判斷并證

5、明其單調性．（3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）．解：（1）要使函數(shù)有意義，必須滿足a-ax＞0，即ax

6、ga（a-ax）（x∈（-∞，1）），f（x）=f-1（x）．由f-1（x2-2）＞f（x）有f（x2-2）＞f（x）,且f（x）為（-∞，1）上的減函數(shù)，所以x2-2＜x,x＜1,解得-1＜x＜1．評析?知道函數(shù)值大小關系和函數(shù)單調性，要研究自變量取值范圍，應直接用單調性得關于x的不等式，但要注意單調區(qū)間．例5?已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值時，x的值．分析?要求函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做兩件事，一是要求其表達式；二是要求出它的定

7、義域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2?=（2+log3x）2+2+2log3x?=log23x+6log3x+6?=（log3x+3）2-3．∵函數(shù)f（x）的定義域為［1，9］，∴要使函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）有定義，就須∴1≤x≤3．?∴0≤log3x≤1∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13∴當x=3時，函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．說明?本例正確求解的關鍵是：函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）定義域的正確

8、確定．如果我們誤認為［1，9］是它的定義域．則將求得錯誤的最大值22．其實我們還能求出函數(shù)y=［f（x）］2+f（x2）的值域為［6，13］．例6?（1）已知函數(shù)y=log3（x2-4mx+4m2+m+）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；（2）已知函數(shù)y=loga［x2+（k+1）x-k+（a＞0，且a