分類討論思想.doc

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1、第三講　分類討論思想[思想方法解讀]　分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其基本思路是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略.1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素：(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對(duì)值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.(2)由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式等.(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的

2、分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問(wèn)題，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對(duì)不同的參數(shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法等.2.進(jìn)行分類討論要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論.其中最重要的一條是“不重不漏”.3.解答分類討論問(wèn)題時(shí)的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不重不漏、分類互斥(沒(méi)

3、有重復(fù))；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論.?？碱}型精析題型一　由概念、公式、法則、計(jì)算性質(zhì)引起的分類討論例1　設(shè)集合A＝{x∈R

4、x2＋4x＝0}，B＝{x∈R

5、x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.　　點(diǎn)評(píng)　對(duì)概念、公式、法則的內(nèi)含及應(yīng)用條件的準(zhǔn)確把握是解題關(guān)鍵，在本題中，B?A，包括B＝?和B≠?兩種情況.解答時(shí)就應(yīng)分兩種情況討論，在關(guān)于指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算中，底數(shù)的取值范圍是進(jìn)行討論時(shí)首先要考慮的因素.變式訓(xùn)練1　若函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值為4，最小值

6、為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________.題型二　分類討論在含參函數(shù)中的應(yīng)用例2　已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.　點(diǎn)評(píng)　本題中函數(shù)的定義域是確定的，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是不確定的，二次函數(shù)的最值問(wèn)題與對(duì)稱軸息息相關(guān)，因此需要對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論，分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)和對(duì)稱軸在區(qū)間外，從而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，即可表示函數(shù)的最大值，從而求出a的值.變式訓(xùn)練2　(2015·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).(1)試討論f(x)的單調(diào)性；(2)若b＝c－a(實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)

7、的常數(shù))，當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值.　　　　題型三　根據(jù)圖形位置或形狀分類討論例3　在約束條件下，當(dāng)3≤s≤5時(shí)，z＝3x＋2y的最大值的變化范圍是(　　)A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]點(diǎn)評(píng)　幾類常見(jiàn)的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論(1)二次函數(shù)對(duì)稱軸的變化；(2)函數(shù)問(wèn)題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變化等.變式訓(xùn)練3　設(shè)F1、F2為橢圓＋＝1的兩個(gè)焦

8、點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，已知P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且＞，求的值.　　高考題型精練1.對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　)A.f(0)＋f(2)<2f(1)B.f(0)＋f(2)≤2f(1)C.f(0)＋f(2)≥2f(1)D.f(0)＋f(2)>2f(1)2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是(　　)A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.等差數(shù)列或等比數(shù)列D.以上都不對(duì)3.已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個(gè)直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實(shí)數(shù)k等于(　　)A.－B.C.0D.－或04.(20

9、14·四川)設(shè)m∈R，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線x＋my＝0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx－y－m＋3＝0交于點(diǎn)P(x，y)，則

10、PA

11、＋

12、PB

13、的取值范圍是(　　)A.[，2]B.[，2]C.[，4]D.[2，4]5.(2015·大連模擬)拋物線y2＝4px(p>0)的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(　　)A.2B.3C.4D.66.在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________.7.已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1對(duì)于x∈[－1,1]總有f(