神奇的莫比烏斯圈.doc

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1、神奇的莫比烏斯圈一、引入課題：兩個(gè)剪紙游戲1、游戲一?：你能把一張紙剪成兩張嗎？　　找一張舊報(bào)紙，用剪刀把報(bào)紙剪出一張5厘米寬的紙條，把紙條的一頭翻個(gè)面，然后和另一頭粘在一起，形成一個(gè)扭曲的紙圈。沿著5厘米寬的紙圈的中心線把紙圈剪開(kāi)，你能剪出兩個(gè)紙圈嗎？剪完一圈，你會(huì)發(fā)現(xiàn)紙圈還是一個(gè)，不過(guò)比原紙圈長(zhǎng)了一倍。這種扭曲的紙圈有一個(gè)奇妙的特點(diǎn)，它只有一個(gè)面，也就是沒(méi)有正反面，這種紙圈在拓?fù)鋵W(xué)上叫莫比烏斯圈。如果我們?cè)偌粢淮?，?huì)發(fā)生什么事情呢？現(xiàn)在這個(gè)紙環(huán)已經(jīng)是不是單側(cè)曲面了，所以剪開(kāi)以后應(yīng)該至少出現(xiàn)兩個(gè)環(huán)。問(wèn)題是，那會(huì)是怎么樣的兩

2、個(gè)環(huán)呢？結(jié)果是兩個(gè)和剛才一樣的紙環(huán)，不過(guò)這兩個(gè)紙環(huán)是套在一起的。2、游戲二?：換個(gè)地方剪，你能剪出和上面一樣的紙圈嗎？　　還是按上面說(shuō)過(guò)的方法做一個(gè)摩比烏斯圈，用剪刀從靠紙邊上三分之一的地方剪開(kāi)。從頭剪到尾，一直保持離紙邊相同的距離。這樣剪的結(jié)果會(huì)是一個(gè)比原紙圈長(zhǎng)一倍的紙圈和一個(gè)與原紙圈同樣大的紙圈套在一起，真是有意思極了，這一點(diǎn)你恐怕沒(méi)有想到吧。二、莫比烏斯圈?1、簡(jiǎn)介公元1858年，德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）和約翰·李斯丁發(fā)現(xiàn)：把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來(lái)做成的紙帶圈，具有魔術(shù)般的

3、性質(zhì)。普通紙帶具有兩個(gè)面（即雙側(cè)曲面），一個(gè)正面，一個(gè)反面，兩個(gè)面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個(gè)面（即單側(cè)曲面），一只小蟲(chóng)可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過(guò)它的邊緣。這種紙帶被稱(chēng)為“莫比烏斯圈”。2、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：有人曾提出，先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊

4、界的紙圈兒呢？?對(duì)于這樣一個(gè)看來(lái)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒(méi)有成功。后來(lái)，德國(guó)的數(shù)學(xué)家莫比烏斯對(duì)此發(fā)生了濃厚興趣，他長(zhǎng)時(shí)間專(zhuān)心思索、試驗(yàn)，也毫無(wú)結(jié)果。????有一天，他被這個(gè)問(wèn)題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時(shí)感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個(gè)尚未找到的圈兒。??一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來(lái)，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，

5、這“綠色的圓圈兒”就是他夢(mèng)寐以求的那種圓圈。????莫比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180°，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個(gè)面的紙圈兒。圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲(chóng)，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲(chóng)不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動(dòng)地說(shuō)：“公正的小甲蟲(chóng)，你無(wú)可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面?！?莫比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。???3、相關(guān)結(jié)論?做幾個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“莫比烏斯圈”有許多讓我們感到驚奇而有趣的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)一?：?如果在裁好的一張紙條正中間畫(huà)一條線，粘成“莫比烏斯

6、圈”，再沿線剪開(kāi)，把這個(gè)圈一分為二，照理應(yīng)得到兩個(gè)圈兒，奇怪的是，剪開(kāi)后竟是一個(gè)大圈兒。???實(shí)驗(yàn)二：如果在紙條上劃兩條線，把紙條三等分，再粘成“莫比烏斯圈”，用剪刀沿畫(huà)線剪開(kāi)，剪刀繞兩個(gè)圈竟然又回到原出發(fā)點(diǎn)，猜一猜，剪開(kāi)后的結(jié)果是什么，是一個(gè)大圈？還是三個(gè)圈兒？都不是。它究竟是什么呢？你自己動(dòng)手做這個(gè)實(shí)驗(yàn)就知道了。你就會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，紙帶一分為二，一大一小的相扣環(huán)。????奇妙之處有三：???①莫比烏斯環(huán)只存在一個(gè)面。????②如果沿著莫比烏斯環(huán)的中間剪開(kāi)，將會(huì)形成一個(gè)比原來(lái)的麥比烏斯環(huán)空間大一倍的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)（在本

7、文中將之編號(hào)為：環(huán)0），而不是形成兩個(gè)麥比烏斯環(huán)或兩個(gè)其它形式的環(huán)。????③如果再沿著環(huán)0的中間剪開(kāi)，將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，且這兩個(gè)環(huán)是相互套在一起的（在本文中將之編號(hào)為：環(huán)1和環(huán)2），從此以后再沿著環(huán)1和環(huán)2以及因沿著環(huán)1和環(huán)2中間剪開(kāi)所生成的所有環(huán)的中間剪開(kāi)，都將會(huì)形成兩個(gè)與環(huán)0空間一樣的、具有正反兩個(gè)面的環(huán)，永無(wú)止境……且所生成的所有的環(huán)都將套在一起，永遠(yuǎn)無(wú)法分開(kāi)、永遠(yuǎn)也不可能與其它的環(huán)不發(fā)生聯(lián)系而獨(dú)立存在。??4、應(yīng)用數(shù)學(xué)中有一個(gè)重要分支叫拓?fù)鋵W(xué)，主要是研究幾何圖形連續(xù)改變形狀時(shí)的一些特

8、征和規(guī)律的，麥比烏斯圈變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問(wèn)題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道路，避免車(chē)輛行人的擁堵。???一、1979年，美國(guó)著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來(lái)，整條傳送帶環(huán)面各處均勻