在解題教學(xué)中培養(yǎng)發(fā)散思維.doc

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1、在解題教學(xué)中培養(yǎng)發(fā)散思維發(fā)散思維，又叫輻射思維、擴(kuò)散思維，是指在創(chuàng)造和解決問題，思考問題時(shí)候，從已有信息出發(fā)，盡可能向各個(gè)方向發(fā)展，不受到已有的、舊的、習(xí)慣性的思維模式的束縛，衍生出多種不同的方式方法，求得各種結(jié)果。本文筆者從數(shù)學(xué)解題教學(xué)方面談?wù)劙l(fā)散思維能力的培養(yǎng)。一、大腦激蕩法：在一定時(shí)間內(nèi)，通過大腦迅速聯(lián)想，產(chǎn)生盡可能多的想法和建議。下面舉例說明：例1、已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1,求1/x+1/y的最小值；本題命題的目的是運(yùn)用基本不等式求最小值，但怎樣運(yùn)用呢？在教學(xué)中，學(xué)生都易直接應(yīng)用，而導(dǎo)致這樣的錯(cuò)解：因?yàn)閤〉0,y>0,x+2y=1,所以x+2y22(2xy)1/2①，所以

2、xyWl/8,所以l/xy28,又因?yàn)?/x+1/y22(1/xy)1/2……②，由①②得l/x+l/yM4(2)1/2,所以1/x+1/y的最小值為4(2)l/2o錯(cuò)誤的原因：這里運(yùn)用了兩次基本不等式，不等式①成立的條件是：x=2y,不等式②成立的條件是：x二y,兩者同時(shí)成立的條件是：x=y=0；這與x、yHO矛盾，因而“二”不能成立；只能得到1/x+1/y>4(2)1/2O這說明，本題在應(yīng)用基本不等式時(shí)，需要有一個(gè)過渡的橋梁；在教學(xué)中，我進(jìn)行相關(guān)的點(diǎn)撥：該題的結(jié)構(gòu)有何特征？條件與結(jié)論之間能不能聯(lián)系起來？與我們前面學(xué)過的知識(shí)有沒有聯(lián)系？求最小值通常有哪些方法？通過我的點(diǎn)撥，學(xué)生的思維

3、開始活躍起來，通過討論和探求得到以下幾種不同的解法，現(xiàn)總結(jié)如下，供大家參考和指正。解法一：“1”代換法1/x+1/y=(x+2y)/x+(x+2y)/y=3+2y/x+x/y±3+2(2)1/2點(diǎn)評(píng)：該解法是命題者想要考的方法，但學(xué)生不易想到，需要老師的點(diǎn)撥和幫助。解法二：“三角換元法”因?yàn)閤>0,y>0,x+2y=1,所以令x=cos2Q,2y=sin2，所以l/x=l/cos2Q,1/y=2/sin2Q所以1/x+1/y=(cos2Q+sin2Q)/cos2Q+(2cos2Q+2sin2Q)/sin2Q=3+sin2Q/cos2Q+2cos2Q/sin2Q23+2(2)1/2點(diǎn)評(píng)：

4、該方法是當(dāng)兩個(gè)正數(shù)之和為定值時(shí)，特別是和為1時(shí)，常常運(yùn)用的方法。解法三：“整體換元函數(shù)法"令1/x+1/y=t(t>0),則txy=x+y①，因?yàn)閤+2y=1,所以x=1?2y②,由x>0,y>0得00,對(duì)稱軸y二(1+t)/4t>0,且f(0)=1,所以方程③在(0,1/2)內(nèi)有解的充要條件為：(1+t)/4t0,y>0,x+2y=l所以x=l~2y且yW(0,1/2)則1/x+1/y=l/(1-2y)+1/y=(1-y)/(y~2y2)令1-y=t,(l/2

5、“二”成立的條件是t二(2)1/2/2e(1/2，1)所以0〈3-(2t+1/t)<3-2(2)1/2所以1/3-(2t+1/t)$1/3-2(2)1/2二3+2(2)1/2即1/x+1/y的最小值為3+2(2)1/2點(diǎn)評(píng)：方法三和方法四的解題基本思路是運(yùn)用函數(shù)的思想方法，求某個(gè)量(或某個(gè)式子)的值域(或最值)可看成關(guān)于某一個(gè)自變量的函數(shù)，如果有兩個(gè)以上的變量，可采用消元法的思想進(jìn)行降元，使之成為一個(gè)自變量的函數(shù)，從而該題就把1/x+1/y=l/(1~2y)+1/y=(1-y)/(y-2y2)看成關(guān)于自變量y的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求此分式函數(shù)的值域,這也是求值域(最值)的最基本、最本質(zhì)的方

6、法。解法五：“借助已證不等式”在講過該題之后，我補(bǔ)充講了這樣的一題(這里暫稱預(yù)備題):已知a,b^R,x、y都為正數(shù)，求證：a2/x+b2/y$(a+b)2/x+y。證明：因?yàn)閍2/x+b2/y-(a+b)2/x+y二(a2y2+b2x2~2abxy)/xy(x+y)=(ay-bx)2/xy(x+y)$0；所以a2/x+b2/y$(a+b)2/x+y該題講過之后，思維快的學(xué)生立即發(fā)現(xiàn)本題與“已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1,求1/x+1/y的最小值"之間的聯(lián)系，并舉手說：老師，剛才的一題可以用此不等式的結(jié)論來求解，我立即給予充分的肯定，并請(qǐng)?jiān)搶W(xué)生把過程寫在黑板上，現(xiàn)摘錄如下：1/x+1/

7、y=l/x+2/2y2[l+(2)1/2]/x+2y=3+2(2)1/2點(diǎn)評(píng)：該方法是在講解預(yù)備題后，好的學(xué)生通過兩者結(jié)構(gòu)間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)的解題方法，這也是我想要講的方法，但不是我講出來的，而是學(xué)生發(fā)現(xiàn)的，這樣就大大的提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也培養(yǎng)了學(xué)生的知識(shí)遷移能力和發(fā)散思維能力。二、分組討論法例2、平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如“兩組對(duì)邊分別平行"。類似地寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件：充要條件①充要條件