如何求恒成立問題中參數(shù)的范圍.doc

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1、如何求恒成立問題中參數(shù)的范圍湖南省衡東縣歐陽遇中學廖鵬飛恒成立問題是中學數(shù)學的一類很重要的題型，它是函數(shù)、不等式等內容交匯處的一個較為活躍的知識點,很好地考查了分類討論、數(shù)形結合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法.其中往往是以求某一個參數(shù)的范圍為命題方向，解答這類問題常常有如下幾種常用技巧和思路：1.判別式法例1　若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：當時，顯然對一切實數(shù)恒成立；當時，要使不等式對一切實數(shù)恒成立，須有，即解得．綜上，的取值范圍是．注：不等式對任意實數(shù)恒成立或；不等式對任意實數(shù)恒成立或2.構造函數(shù)法①一次函數(shù)型問題，利用一次函數(shù)的圖像特征求解.例2.對于一

2、切

3、m

4、≤2，不等式恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.解：設，當時，不符合題意.當時，要使在上恒成立，則：.故②二次函數(shù)型問題，結合拋物線圖像.例3.對于

5、x

6、≤2，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：設.當時，>0，符合題意.當時，∵圖像對稱軸為，∴>0在上恒成立△，解得：當時，∵，∴>0在上恒成立,即，解得：.綜上，注：若已知條件中的變量有兩個，其中有一個變量的范圍已知，若該變量為一次，則可以采用一次函數(shù)法，若為二次，則可以采用二次函數(shù)法，注意分類討論思想的應用.3.直接利用圖象判斷例4.當x(1,2)時，不等式(x-1)2

7、=(x-1)2y2=logax分析：本題若直接求解，則較為繁難，若將不等號兩邊分別設成兩個函數(shù)，則左邊為二次函數(shù)，圖象是拋物線，右邊為對數(shù)函數(shù)的圖象，借助圖形可直觀、簡捷求解．解：設y1=(x-1)2,y2=logax，則在同一坐標系內y1、y2的圖象如右圖所示，要使對一切x(1,2),y11,并且只需當x=2時y2的函數(shù)值大于等于y1的函數(shù)值.故loga2>1,a>1,∴1g(x)）型問題，一般先利用數(shù)形結合思想轉化為函數(shù)圖象的關系再處理。4.分離參數(shù)法例5.若不等式對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解

8、：∵，∴對一切恒成立.令，∵函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，∴．　故對一切恒成立，　即所求實數(shù)的取值范圍為．注：先把所求的參數(shù)分離出來，得到含參數(shù)的表達式，借用重要結論：“不等式恒成立；不等式恒成立”，再運用不等式知識或求函數(shù)最值的方法，使問題獲解.