單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng).ppt

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1、第三章單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)●本章將主要討論振動(dòng)系統(tǒng)由外部持續(xù)激勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng)，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。●系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)取決于激勵(lì)的類型，依照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的次序，外部激勵(lì)分為:◆簡(jiǎn)諧激勵(lì)；●疊加原理：對(duì)于線性系統(tǒng)，可以先分別求出對(duì)所給定的許多各種激勵(lì)的響應(yīng)，然后組合得出總響應(yīng)?！舴侵芷谛约?lì)。◆周期性激勵(lì)；3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)如圖3.1-1所示的二階線性有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)。這一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為這個(gè)單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的全部解包括兩部分。一是通解x1，二是特解x2，即在小阻尼情況下，通解x1為衰減振動(dòng)，稱為瞬態(tài)振動(dòng)；特解x2表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激

2、勵(lì)下產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng)，它是一種持續(xù)等幅振動(dòng)，稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。(3.1-1)圖3.1-1微分方程及解的形式3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)微分方程的求解式中X為強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅，?為相位差，是兩個(gè)待定常數(shù)。將式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得為了便于比較，把上式右端的F0sin?t改寫如下設(shè)特解為(3.1-2)(3.1-3)(3.1-4)3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)微分方程的求解將式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得該方程對(duì)于任意時(shí)間t都應(yīng)恒等于零，有由此可得(3.1-5)(3.1-6)3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)微分方程的求解為了便于進(jìn)一步討論，把式(3.1-

3、5)與式(3.1-6)的分子分母同除以k，得如下變化形式(3.1-7)式中。(3.1-8)得特解為這就是在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下系統(tǒng)的位移響應(yīng)。(3.1-9)3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)可以看出強(qiáng)迫振動(dòng)的一些帶有普遍性質(zhì)的特點(diǎn)：(1)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，強(qiáng)迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的頻率與激勵(lì)頻率?相同，但穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位滯后于激勵(lì)相位。(2)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅X和相位差?都只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激勵(lì)的大小與頻率，與初始條件無(wú)關(guān)。初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)。(3)強(qiáng)迫振動(dòng)振幅的大小在工程實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義。如果振幅超過(guò)允許的限度，構(gòu)件中會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的交變應(yīng)力，而導(dǎo)

4、致疲勞破壞，或者影響機(jī)器及儀表的精度。3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論可以將式(3.1-7)寫成無(wú)量綱的形式(3.1-10)(3.1-11)引入符號(hào)：頻率比；振動(dòng)系統(tǒng)零頻率撓度；放大因子。3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——幅頻特性曲線放大因子?與頻率比?的關(guān)系：◆當(dāng)頻率比?<<1時(shí)，放大因子接近于1，即振幅X幾乎與激勵(lì)幅值引起的靜變形X0差不多?！舢?dāng)頻率比?>>1時(shí)，?趨于零，振幅可能非常小?！舢?dāng)激勵(lì)頻率與振動(dòng)系統(tǒng)頻率很接近時(shí)，即?≈1時(shí)，定義為共振，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可能很大，比X0大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。圖3.1-23.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的

5、響應(yīng)關(guān)于解的討論——共振由式(3.1-10)可見(jiàn)，在?=1時(shí)，有實(shí)際上，當(dāng)有阻尼作用時(shí)，振幅最大并不在?=?n處，而發(fā)生在(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)將式(3.1-10)對(duì)ω(或λ)進(jìn)行微分，令結(jié)果等于零,即3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——共振據(jù)此，放大因子與振幅為（振幅最大時(shí)）(3.1-15)(3.1-16)有時(shí)，把強(qiáng)迫振動(dòng)振幅最大時(shí)的頻率稱為共振頻率，也可以把振動(dòng)系統(tǒng)以最大振幅進(jìn)行振動(dòng)的現(xiàn)象稱為共振。3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——相頻頻特性曲線相位差?與頻率比?的關(guān)系：◆在?<<1的低頻范圍內(nèi)，相位差??0，即

6、響應(yīng)與激勵(lì)接近于同相位?！粼?>>1時(shí)，相位差???，即在高頻范圍內(nèi)，響應(yīng)與激勵(lì)接近于反相位。◆在?=1，即共振時(shí)，相位差???/2，這時(shí)?與阻尼大小無(wú)關(guān)，這是共振時(shí)的一個(gè)重要特征。圖3.1-33.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——共振時(shí)的響應(yīng)再研究當(dāng)激勵(lì)頻率?與系統(tǒng)固有頻率?n相等(即共振)時(shí)的響應(yīng)情況。在方程(3.1-1)中，令c=0，?=?n，有根據(jù)微分方程理論可知：當(dāng)?=?n時(shí)，微分方程(3.1-17)的特解為(3.1-17)(3.1-18)這就說(shuō)明在共振時(shí)，如無(wú)阻尼，振幅將隨時(shí)間無(wú)限地增大，如圖3.1-4所示。圖3.1-43.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)

7、的響應(yīng)例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程（例3.1-1)共振現(xiàn)象是工程中需要研究的重要課題，工程中通常取0.75

8、0==0，上式簡(jiǎn)化為3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)例題：無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程（例3.1-1)在有阻尼的情況下，后一種自由振動(dòng)在一