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1、第三章單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)●本章將主要討論振動(dòng)系統(tǒng)由外部持續(xù)激勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng),稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。●系統(tǒng)對(duì)外部激勵(lì)的響應(yīng)取決于激勵(lì)的類型,依照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的次序,外部激勵(lì)分為:◆簡(jiǎn)諧激勵(lì);●疊加原理:對(duì)于線性系統(tǒng),可以先分別求出對(duì)所給定的許多各種激勵(lì)的響應(yīng),然后組合得出總響應(yīng)?!舴侵芷谛约?lì)。◆周期性激勵(lì);3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)如圖3.1-1所示的二階線性有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)。這一系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為這個(gè)單自由度強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的全部解包括兩部分。一是通解x1,二是特解x2,即在小阻尼情況下,通解x1為衰減振動(dòng),稱為瞬態(tài)振動(dòng);特解x2表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激
2、勵(lì)下產(chǎn)生的強(qiáng)迫振動(dòng),它是一種持續(xù)等幅振動(dòng),稱為穩(wěn)態(tài)振動(dòng)。(3.1-1)圖3.1-1微分方程及解的形式3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)微分方程的求解式中X為強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅,?為相位差,是兩個(gè)待定常數(shù)。將式(3.1-2)代入式(3.1-1),得為了便于比較,把上式右端的F0sin?t改寫如下設(shè)特解為(3.1-2)(3.1-3)(3.1-4)3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)微分方程的求解將式(3.1-4)代回式(3.1-3),整理后得該方程對(duì)于任意時(shí)間t都應(yīng)恒等于零,有由此可得(3.1-5)(3.1-6)3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)微分方程的求解為了便于進(jìn)一步討論,把式(3.1-
3、5)與式(3.1-6)的分子分母同除以k,得如下變化形式(3.1-7)式中。(3.1-8)得特解為這就是在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下系統(tǒng)的位移響應(yīng)。(3.1-9)3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)可以看出強(qiáng)迫振動(dòng)的一些帶有普遍性質(zhì)的特點(diǎn):(1)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下,強(qiáng)迫振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng),振動(dòng)的頻率與激勵(lì)頻率?相同,但穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位滯后于激勵(lì)相位。(2)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅X和相位差?都只決定于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)和激勵(lì)的大小與頻率,與初始條件無(wú)關(guān)。初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)。(3)強(qiáng)迫振動(dòng)振幅的大小在工程實(shí)際問(wèn)題中具有重要意義。如果振幅超過(guò)允許的限度,構(gòu)件中會(huì)產(chǎn)生過(guò)大的交變應(yīng)力,而導(dǎo)
4、致疲勞破壞,或者影響機(jī)器及儀表的精度。3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論可以將式(3.1-7)寫成無(wú)量綱的形式(3.1-10)(3.1-11)引入符號(hào):頻率比;振動(dòng)系統(tǒng)零頻率撓度;放大因子。3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——幅頻特性曲線放大因子?與頻率比?的關(guān)系:◆當(dāng)頻率比?<<1時(shí),放大因子接近于1,即振幅X幾乎與激勵(lì)幅值引起的靜變形X0差不多?!舢?dāng)頻率比?>>1時(shí),?趨于零,振幅可能非常小?!舢?dāng)激勵(lì)頻率與振動(dòng)系統(tǒng)頻率很接近時(shí),即?≈1時(shí),定義為共振,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅可能很大,比X0大很多倍,唯一的限制因素是阻尼。圖3.1-23.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的
5、響應(yīng)關(guān)于解的討論——共振由式(3.1-10)可見(jiàn),在?=1時(shí),有實(shí)際上,當(dāng)有阻尼作用時(shí),振幅最大并不在?=?n處,而發(fā)生在(3.1-12)(3.1-13)(3.1-14)將式(3.1-10)對(duì)ω(或λ)進(jìn)行微分,令結(jié)果等于零,即3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——共振據(jù)此,放大因子與振幅為(振幅最大時(shí))(3.1-15)(3.1-16)有時(shí),把強(qiáng)迫振動(dòng)振幅最大時(shí)的頻率稱為共振頻率,也可以把振動(dòng)系統(tǒng)以最大振幅進(jìn)行振動(dòng)的現(xiàn)象稱為共振。3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——相頻頻特性曲線相位差?與頻率比?的關(guān)系:◆在?<<1的低頻范圍內(nèi),相位差??0,即
6、響應(yīng)與激勵(lì)接近于同相位?!粼?>>1時(shí),相位差???,即在高頻范圍內(nèi),響應(yīng)與激勵(lì)接近于反相位。◆在?=1,即共振時(shí),相位差???/2,這時(shí)?與阻尼大小無(wú)關(guān),這是共振時(shí)的一個(gè)重要特征。圖3.1-33.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)關(guān)于解的討論——共振時(shí)的響應(yīng)再研究當(dāng)激勵(lì)頻率?與系統(tǒng)固有頻率?n相等(即共振)時(shí)的響應(yīng)情況。在方程(3.1-1)中,令c=0,?=?n,有根據(jù)微分方程理論可知:當(dāng)?=?n時(shí),微分方程(3.1-17)的特解為(3.1-17)(3.1-18)這就說(shuō)明在共振時(shí),如無(wú)阻尼,振幅將隨時(shí)間無(wú)限地增大,如圖3.1-4所示。圖3.1-43.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)
7、的響應(yīng)例題:無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程(例3.1-1)共振現(xiàn)象是工程中需要研究的重要課題,工程中通常取0.75<1.25的區(qū)間為共振區(qū),在共振區(qū)內(nèi)振動(dòng)都很強(qiáng)烈,會(huì)導(dǎo)致機(jī)器或結(jié)構(gòu)的過(guò)大變形而造成破壞,但同樣可以利用振動(dòng)為人類服務(wù)。例3.1-1在一彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)上作用一簡(jiǎn)諧力,如圖3.1-5所示。初始瞬時(shí)x(0)=x0,,試求系統(tǒng)的響應(yīng)。解:系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為其解為式中A1和A2是由初始條件確定的常數(shù)。圖3.1-53.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)例題:無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程(例3.1-1)代入初始條件x(0)=x0,,得把A1和A2值代入解中,得當(dāng)t=0時(shí),x
8、0==0,上式簡(jiǎn)化為3.1對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的響應(yīng)例題:無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程(例3.1-1)在有阻尼的情況下,后一種自由振動(dòng)在一