曹瑞彬--初等數(shù)論.doc

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1、競(jìng)賽中數(shù)論選講(揚(yáng)州)啟東中學(xué)曹瑞彬例1．設(shè)n∈N+，f(n)=n(n2-1)(n2-5n+26)，求證：120

2、f(n)。例2．設(shè)p為奇質(zhì)數(shù)，證明例3．試證：A=不是整數(shù)。例4．對(duì)于正整數(shù)n與k，定義：F(n，k)=求證：F(n，1)

3、F(n，k)。例5．求同時(shí)滿足下條件的一組整數(shù)a、b，(1)ab(a+b)不能被7整除；(2)(a+b)7-a7-b7能被77整除。例6．證明：對(duì)于任一正整數(shù)n，存在一個(gè)正整數(shù)滿足下列性質(zhì)：(1)它有n位數(shù)；(2)它的每位數(shù)字都不是零；(3)它能被其各位數(shù)字之和整除。例7．給定大于1的自然a、

4、b、n，An-1和An是a進(jìn)制數(shù)，Bn-1和Bn是b進(jìn)制數(shù)，An-1、An、Bn-1、Bn定義為：An=(xnxn-1…x))a，An-1=(xn-1xn-2…x0)a，Bn=(xnxn-1…x))b，Bn-1=(xn-1xn-2…x0)b，其中xn≠0，xn-1≠0。證明：當(dāng)a＞b時(shí)，有。例8．給定正整數(shù)n，已知砝碼重量(克)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺(tái)天平可以稱出質(zhì)量為1，2，3，…，n克的所有物品。（1）求k的最小值f(n)；（2）當(dāng)且僅當(dāng)n取什么值時(shí)，上述f(n)塊砝碼的組成方式是唯一確定的？并證明你的結(jié)論。例9．定義函

5、數(shù)：f：N+→N+如下：f(1)=1，f(3)=3，且對(duì)n∈N，有f(2n)=f(n)，f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n)，f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n)，問有多少個(gè)n∈N+，且n≤2009，使f(n)=n。例10．設(shè)整數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，記d=a2011+b2011+c2011。證明：

6、d

7、不是素?cái)?shù)。例11．設(shè)a、b、c、d為正整數(shù)，證明：a4b+d-a4c+d被240整除。例12已知數(shù)列{an}，其中a1=1，a2=2，an+2=試證：對(duì)一切n∈N*，an≠0．（1988年全國(guó)高中競(jìng)賽試題

8、）例13設(shè)E={1，2，3，……，200}，G={a1，a2，……，a100}E．且G具有下列兩條性質(zhì)：⑴對(duì)任何1≤i

9、(x+y+z)。例15．設(shè)n>1，證明：11…1不是完全平方數(shù)。例16．已知a0=0，a1=1，an+1=8an-an-1，n=1，2，…，求證：在數(shù)列{an}中沒有形如3α5β(α、β為正整數(shù))的項(xiàng)

10、。例17數(shù)列{xn}為1,3，5，…，滿足遞推關(guān)系：xn+2=xn+1+2xn，n∈N*。數(shù)列{yn}為7,17，55，…，滿足遞推關(guān)系：yn+2=2yn+1+3yn，n∈N*。證明：這兩個(gè)數(shù)列沒有相同的項(xiàng)。例18．證明：對(duì)任意整數(shù)，存在一個(gè)次多項(xiàng)式具有如下性質(zhì)：（1）均為正整數(shù)；（2）對(duì)任意正整數(shù)，及任意個(gè)互不相同的正整數(shù)，均有．例19.記[m]為不超過實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)．設(shè)x、y均為正實(shí)數(shù)，且對(duì)所有的正整數(shù)n，都有［x［ny］］=n?1成立．證明：xy=1，且y是大于1的無(wú)理數(shù)．例20.設(shè)k，l是給定的兩個(gè)正整數(shù)，證明：存在

11、無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)m≥k，使得C與l互素．21.設(shè)f(x)是周期函數(shù)，T和1是f(x)的周期且0＜T＜1．證明：(I)若T為有理數(shù)，則存在素?cái)?shù)p，使是f(x)的周期；(II)若T為無(wú)理數(shù)，則存在各項(xiàng)均為無(wú)理數(shù)的數(shù)列{an}滿足1＞an＞an＋1＞0(n＝1，2，…)，且每個(gè)an(n＝1，2，…)都是f(x)的周期．例22.求出所有小于10的正整數(shù)M，使得5整除2009M+M2009。例23．證明：數(shù)列1,31,331,33331，…中有無(wú)窮多個(gè)合數(shù)。24.試求出所有的正整數(shù)a、b、c，其中1＜a＜b＜c，且使得(a-1)(b-1)

12、(c-1)

13、abc-1。