用常數(shù)變易法求解二階非齊次線性微分方程.ppt

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1、Dec.20Mon.Review特殊情形1).當(dāng)不是特征根時(shí)，則特解具有形式2.當(dāng)是特征根時(shí)，則特解具有形式§9用常數(shù)變易法求解二階非齊次方程基本思想：對(duì)應(yīng)齊次方程的通解例求的通解；解方程若已知齊次方程的一個(gè)不恒為零的解hw：p3015,8.§9歐拉方程EulerEquation歐拉方程常系數(shù)線性微分方程歐拉方程的算子解法:則計(jì)算繁!則由上述計(jì)算可知:用歸納法可證于是歐拉方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)線性方程:例1.解:則原方程化為亦即其根則①對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為特征方程①①的通解為換回原變量,得原方程通解為設(shè)特解:代入①確定系數(shù),得例2.解:將

2、方程化為(歐拉方程)則方程化為即②特征根:設(shè)特解:代入②解得A=1,所求通解為例3.解:由題設(shè)得定解問題③則③化為特征根:設(shè)特解:④⑤代入⑤得A＝1得通解為利用初始條件④得故所求特解為hw：p3192,4.EulerEquation：一類特殊變系數(shù)非齊次線性微分方程解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.特點(diǎn)：各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．令將方程轉(zhuǎn)化為常系數(shù)微分方程。將自變量換為用表示對(duì)自變量求導(dǎo)的運(yùn)算上述結(jié)果可以寫為將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個(gè)方

3、程的解后，把換為，即得到原方程的解.一般地，例求歐拉方程的通解．解作變量變換原方程化為即或(1)方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程為其特征方程特征方程的根為所以齊次方程的通解為設(shè)特解為代入原方程，得所給歐拉方程的通解為例hw：p3192,4.歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量代換注意：歐拉方程的形式．