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《求解線性非齊次高階方程的特解-常數(shù)變易法》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、4.3非齊次高階線性方程特解的常數(shù)變易方法、疊加原理(UsethemethodofVariationofConstantstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教學內(nèi)容]1.介紹非齊次線性方程特解的常數(shù)變易法.2.介紹非齊次線性方程特解的疊加原理.3.介紹一些特殊求解方法(乘積求導法則、特征方程法和劉維爾公式)[教學重難點]重點是知道常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解;難點是如何給出未知函數(shù)滿足的方程.[教學方法]預習1、2、3;講授1、2、3[考核目標]1.靈
2、活運用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解.2.知道非齊次線性方程特解的疊加原理.3.知道一些特殊求解方法(乘積求導法則、特征方程法和劉維爾公式)1.常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解(以二階微分方程為例)(1)引例(1)求出方程;(2)的通解.這里和不是多項式函數(shù)、不是指數(shù)函數(shù)、不是可以用形式特解的待定系數(shù)法來求解方程的特解.(2)解法思路:考察(**).為了求出方程(**)的一個特解,先考慮相應(yīng)的二階齊次線性方程(*),假定已知齊次線性方程的基本解組,則齊次線性方程的通解為,其中為常數(shù).現(xiàn)假定方程(**)具有形如的特解(這就是常數(shù)變易法叫法由來
3、?。?jīng)計算得到,注意到將其代入原方程(**)只得一個等式,而這里有兩個未知函數(shù),因此我們添加一個限制條件;進一步求二階導數(shù)得到,將代入原方程得到,,注意到為方程(*)的解,因此上述左端第一項和第二項都為零,即得到如下方程組,由此運用克萊姆法則得到,這里為Wronski行列式,是不為零的(為什么?).最后對上面兩個等式兩邊同時關(guān)于變量t積分可得.例56求解的一個特解.解:第一步:注意到原方程已是標準形式了,相應(yīng)的齊次方程為,其特征方程為,特征值為.于是相應(yīng)的基本解組為.第二步:假定原方程具有如下特解,于是由常數(shù)變易法知,滿足,解得,.于是得到,,
4、其中為任意常數(shù).特別地,取得到所求特解為.例57.Findaparticularsolutiontothedifferentialequation.Solution(1)Theequationhasstandardformandtheassociatedhomogeneousequationis,whosecharacteristicequationis.Thenwegetandcorrespondingfundamentalsolutionstohomogeneousequationare.(2)Supposetheoriginalequati
5、onhasthefollowingparticularsolution,Thenweget.ByapplyingCramer'sRule,weget,Weuseintegrationbypartstodeterminethat,.Particularly,wechooseandgetaparticularsolutiontoourdifferentialequationis.作業(yè)51.FindaparticularSolutionofthedifferentialequation.例58.求方程的通解.解:(1)相應(yīng)齊次方程為,這是一個歐拉方程.
6、令其特征方程為,.于是相應(yīng)齊次線性方程的基本解組為.(2)改寫原方程為標準形式,記.假定上述方程具有如下特解,于是有,,運用分部積分法得到,;特別地,取,得到原方程的一個特解.因此,原方程的通解為,其中為任意常數(shù).作業(yè)52.求解的通解.2.非齊次線性方程的疊加原理(1)參見教材P131,習題2.例59求方程的一個特解.解:令.(1)考察相應(yīng)齊次線性方程,其特征方程的特征根為,相應(yīng)的基本解組為.(2)考察非齊次線性方程,假定方程具有特解,代入方程運用待定系數(shù)法求得.(3)考察非齊次線性方程,運用例56的結(jié)果知,(4)由非齊次線性方程的疊加原理知,原
7、方程的一個特解.作業(yè)53.求方程的通解.3.一類特殊齊次線性微分方程基本解組和特解求法(1)乘積求導法則:,.例60.求解方程(1);(2)通解.解:(1)令,于是方程的左端為,于是得到,其中為任意常數(shù).于是得到原方程的通解為,其中為任意常數(shù).(1)經(jīng)觀察不能直接運用乘積求導法則,令,由,解得,此時,驗證可知.原方程兩邊同除以,得到新方程為,解得通解為,于是原方程的通解為,其中為任意常數(shù).作業(yè)53.求解方程(1)的通解.(2)考察方程,假設(shè)代入得到特征方程,若特征方程有實常數(shù)根,則原方程具有解.(直接代入驗證知結(jié)論成立)例61.求方程(1)的通解
8、;(2)一個特解.解:(1)改寫原方程為標準形式為,原方程的特征方程為,可得一實根,于是原方程存在一個解函數(shù).由劉維爾公式(教材P132