非齊次微分方程特解

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1、.二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解的求法討論幸　克　堅　　　　　?。ㄗ窳x師范學(xué)院　貴州　遵義?。担叮常埃埃玻┱∫悍菙?shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程》中，“二階常系數(shù)線性微分方程”一般是作為一個單獨的模塊來講授。但在一般非數(shù)學(xué)專業(yè)使用的《高等數(shù)學(xué)》教材中，特解的介紹常常比較突然和不夠完整，引入不大自然也不易于理解和接受。本文結(jié)合非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的特點就特解的求法進行了分析和討論。關(guān)鍵詞：常系數(shù)線性微分方程特解討論中圖分類號：O171文獻標識碼：E文章編號：1009-3583（2004）03-00　　　　　　　　　　

2、　XINGKe-jian(DepartentofMathematics,ZunyiNormaiCollege,Zunyi563002,China)Abstract:Keywords:一、問題的提出“微分方程”中的“常系數(shù)線性微分方程”的求解理論，在數(shù)學(xué)專業(yè)的《常微分方程》教材中已得到完美的解決，但由于專業(yè)所限，非數(shù)學(xué)專業(yè)《高等數(shù)學(xué)》內(nèi)容中《常微分方程》不可能系統(tǒng)介紹，往往只是將“-..二階常系數(shù)線性微分方程”作為一個單獨的模塊來講授。一般是先求出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，然后，找出非齊次方程：y

3、?+py?+qy=f(x)（1）的一個特解，最后按照“疊加原理”將這個特解與相應(yīng)的齊次方程的通解相加，就得到非齊次方程的通解。這兩個環(huán)節(jié)比較而言，難點在第二步——求特解。雖然非數(shù)學(xué)專業(yè)的《高等數(shù)學(xué)》側(cè)重于應(yīng)用而不在于推導(dǎo)，但知識點的介紹和引入也應(yīng)該遵循引入自然和易于理解接受的原則。而非數(shù)學(xué)專業(yè)使用的不少《高等數(shù)學(xué)》教材中，特解的引入常常比較突然并且不夠完整，讓學(xué)生無法理解和接受，也形不成清晰完整的印象。如筆者使用的這本教材①中就僅從一個十分具體的例子：例1、求方程y?+y?+y=x+2(2)y?+y?=

4、x+2(3)y?=x+2(4)--------------------------收稿日期：2004-03-作者簡介：幸克堅（1954--），貴州遵義人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，從事數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)史研究的特解來引出。很突然地用：“我們設(shè)想方程（2）具有一次式形式的特解：y*=α+βx……；顯然，一次式y(tǒng)*=α+βx不是方程（3）的解，設(shè)想它的特解為：y*=（α+βx）x……；顯然，（α+βx）x不是方程（4）的解，設(shè)想它的特解為：y*=（α+βx）x2”，最后又說：“情況是這樣的：方程（2）對應(yīng)的特征

5、方程無零根；方程（3）對應(yīng)的特征方程以零為單根；方程（4）對應(yīng)的特征方程以零為重根”。之后就依據(jù)這一具體例子，給“二階常系數(shù)線性微分方程”的整個求解問題作了結(jié)論，顯得比較玄乎和片面。這樣取材和講解，很容易產(chǎn)生疑問：①-..用一個系數(shù)這么簡單的具體例子能得出可靠的普遍結(jié)論嗎？②方程的解的這三種形式是怎么得來的？③除了這三種形式之外是否應(yīng)該還有更多的其它形式？④這三種形式與特征方程有無零根有何必然聯(lián)系？產(chǎn)生疑問的結(jié)果，就是學(xué)生不能真正理解和熟練掌握，也無法形成清晰完整的印象。為了避免這種不良后果，筆者在教學(xué)

6、中針對非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就特解的求法問題進行了如下的分析和討論，就較為順暢和易于理解：二、特解的求法分析討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式為：y?+py?+qy=f(x)(1)其中y?項的系數(shù)為1，p、q為常數(shù)，f(x)為初等函數(shù)。因此，y、y?、y?也只能是初等函數(shù)。而且能作為初等函數(shù)的微商或?qū)Ш瘮?shù)出現(xiàn)的最常見的是多項式函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)。所以，f(x)=ax+b、f(x)=asinωx(或f(x)=acosωx)、f(x)=aebx是最簡單而常見的情況，我們就著重討論f(x)的

7、這三種形式。（一）首先考慮：y?+py?+qy=f(x)中f(x)為一般的非零多項式的情形：設(shè)非零多項式f(x)的次數(shù)為n，并設(shè)y*為（1）的解。因為（1）式右邊為非零多項式，所以左邊也必為非零多項式，而初等函數(shù)中有且僅有多項式函數(shù)的微商才為多項式，所以y*也必為非零多項式：不失一般，設(shè)y*=g(x)，并設(shè)g(x)的次數(shù)為m。下面分別根據(jù)（1）中系數(shù)情況來討論m與n之間的關(guān)系：根據(jù)y?+py?+qy=f(x)中系數(shù)有下列三種不同情況：1）當q≠0時(1)為：y?+py?+qy=f(x)。此時，方程右邊f(xié)

8、(x)的次數(shù)為n，將y*=g(x)代入左邊，由于y*的次數(shù)為m，y*′的次數(shù)為m－1，y*″-..的次數(shù)為m－2，所以，方程左邊的次數(shù)為max｛m，m－1，m－2｝=m，應(yīng)與方程右邊f(xié)(x)的次數(shù)n相等。即：m=n；2）當q=0而p≠0時(1)為：y?+py?=f(x)。此時，方程右邊f(xié)(x)的次數(shù)也為n，將y*=g(x)代入左邊后方程左邊的次數(shù)為max｛m－1，m－2｝=m－1，所以有：m－1=n，即m=n+1；3）當p=q=0時(1)為