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《數(shù)非齊次線性微分方程特解求解方法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、萬方數(shù)據(jù)第27卷第3期2009年6月凱里學(xué)院學(xué)報JournalofKailiUniversityV01．27No．3JUll．2009二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解求解方法余智君(貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，貴陽550003)摘要：從推導(dǎo)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解過程中歸納出一種較為直觀、簡便的求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的方法，并且舉例說明了它們的應(yīng)用．關(guān)鍵詞：微分方程；特解；特征方程中圖分類號：0241．81文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1673～9329(2009)03—0004—02解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的關(guān)鍵是求其特解。而
2、目前的高等數(shù)學(xué)教材¨’41對二階常系數(shù)非齊次線性微分方程礦+緲7+穢=／(z)的特解均進行分類處理．1)當(dāng)，(z)=礦P。(工)型．設(shè)特解Y’=∥Q。(z)eL，其中Q。(z)與P。(z)是同次的多項f0A不是特征方程的根，式，矗=．{1A是特征方程的單根，12叉是特征方程的二重根．2)當(dāng)廠(z)=礦rP，COS啦+P。(z)sin啦]型．設(shè)特解y。一∥礦[R￡’(z)COS啦+R等’(z)sin啦]，其中R譬’(z)，R等’(z)是171次的多項式，m—max{l，咒}，志一{0。：圭：莖羞纂蕓耄囂簍根，然后把y*代【lA士幻是特征方程的根??一。一入
3、方程少+緲7+qY=，(z)，比較方程兩邊同類項的系數(shù)。用待定系數(shù)法求出Q。(z)，R譬’(z)，R等’(z)，從而得到特解Y*．但是這樣求解計算量非常大，學(xué)生也難記憶，尤其當(dāng)Y*是幾個不同類型函數(shù)的乘積時，將Y*代入方程求Q。(z)，R2’(工)，R警’(z)非常繁瑣，本文旨在給出一種求，+緲7+qY=廠(z)的特解的簡化方法．因為廠(z)=P。(z)eLrCOS(肛及，(z)=P。(z)礦sincox分別是P。(z)e“‰h的實部與虛部，所以方程少+緲7+qY=P。(z)e∞’COS眥，(1)，+緲7+qY=P，(z)emsinc叫(2)的特解分別等
4、于方程，+幻7+穢=P。(z)e“‰h的特解的實部與虛部，于是得到求方程(1)和(2)的特解的步驟．i)求方程，+力7+穢=P。(z)P“怕h的特解j，’；ii)y+的實部與虛部分別是(1)和(2)的特解．這樣(1)與(2)這兩類方程就可合并為一類方程，+緲7+qY=P。(z)礦(3)來求解，而方程(3)的特解為Y’=∥Q。(z)礦，令≯Q。(z)一Q(z)得Y’一Q(z)礦，將Y’代入原方程(3)得∥(z)+(22+p)Q7(z)+(A2+烈+口)Q(z)=P。(z)(4)當(dāng)A是特征方程的二重根時，有A2+烈+q一0，22+P一0，則d7(z)一P，(
5、z)．當(dāng)A是特征方程的單根時，有A2+烈+q=0，但玖+戶≠0，則硝(z)+(22+p)d(z)=P(z)；當(dāng)A不是特征方程的根時，有Q”(z)+(22+p)Q’(z)+(A2+礎(chǔ)+q)Q(z)=P。(z)．由此可以看出將特解，’一∥Q。(z)礦代入(3)式求Q。(z)與將Q(z)代入(4)式求Q(z)在本質(zhì)上一樣的，而且代入(4)式計算量大大減少。下面用上述方法來二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解：例1求微分方程少一6y7+9y=(z+1)e3。的1個特解．解特征方程r上一6r+9=0，特征根n=r2=3，所以A=3是特征方程的二重根，P。(z)一z+
6、1，故設(shè)特解y’=z2(ax+b)e3。=(ax3+婦2)ek，令Q(z)=凹3+k2，由穢(z)=P。(z)得6ax+2b—z+1，比較等式兩端同次冪的系數(shù)得收藕日期：2009—03—09作者簡介：余智君(1976一)女，湖南邵陽人，貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部講師．萬方數(shù)據(jù)第3期余智君：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解術(shù)解方法的嘗試·5。f6口一1l口2百’≮，凈16：專．所以y。=c警+等)e3。．例2求微分方程，+2y7—3y=：re。的1個特解．解特征方程為r2+2r--3=0，特征根r，=1，r2=一3，所以A=1是特征方程的單根，P。(z)一z
7、，故設(shè)Y’=z(or+6)e。=(ax2+bx)e。，令Q(z)一仳2+bx，由穢(z)+(2A+p)Q7(z)一P。(z)，2A+P一4，得2a+4(2ax+6)=z，比較等式兩端同次冪的系數(shù)得f8口：1l口2i’I2a+4b=。凈1一去，所以y’一(吾一蠢培．例3求微分方程，一2y7+2y=xe。cosz的1個特解．解(i)先求微分方程／一2y7+2y=xe‘1帥。的特解Y’．特征方程為r2—2r+2—0，特征根n—r2=1±i，所以A=1+i是特征方程的根，P。(z)一z。故設(shè)Y‘=x(ax+b)e‘1+ih一(ax2+bx)e“Ⅷ。，令Q(z)一
8、甜2+bx，由∥(z)+(2A+p)Q7(z)一P。(z)，2A+P一4，得2口
