數(shù)非齊次線性微分方程特解求解方法

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1、萬方數(shù)據(jù)第27卷第3期2009年6月凱里學(xué)院學(xué)報(bào)JournalofKailiUniversityV01.27No.3JUll.2009二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解求解方法余智君(貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,貴陽(yáng)550003)摘要:從推導(dǎo)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解過程中歸納出一種較為直觀、簡(jiǎn)便的求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的方法,并且舉例說明了它們的應(yīng)用.關(guān)鍵詞:微分方程;特解;特征方程中圖分類號(hào):0241.81文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1673~9329(2009)03—0004—02解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的關(guān)鍵是求其特解。而

2、目前的高等數(shù)學(xué)教材¨’41對(duì)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程礦+緲7+穢=/(z)的特解均進(jìn)行分類處理.1)當(dāng),(z)=礦P。(工)型.設(shè)特解Y’=∥Q。(z)eL,其中Q。(z)與P。(z)是同次的多項(xiàng)f0A不是特征方程的根,式,矗=.{1A是特征方程的單根,12叉是特征方程的二重根.2)當(dāng)廠(z)=礦rP,COS啦+P。(z)sin啦]型.設(shè)特解y。一∥礦[R£’(z)COS啦+R等’(z)sin啦],其中R譬’(z),R等’(z)是171次的多項(xiàng)式,m—max{l,咒},志一{0。:圭:莖羞纂蕓耄囂簍根,然后把y*代【lA士幻是特征方程的根??一。一入

3、方程少+緲7+qY=,(z),比較方程兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)。用待定系數(shù)法求出Q。(z),R譬’(z),R等’(z),從而得到特解Y*.但是這樣求解計(jì)算量非常大,學(xué)生也難記憶,尤其當(dāng)Y*是幾個(gè)不同類型函數(shù)的乘積時(shí),將Y*代入方程求Q。(z),R2’(工),R警’(z)非常繁瑣,本文旨在給出一種求,+緲7+qY=廠(z)的特解的簡(jiǎn)化方法.因?yàn)閺S(z)=P。(z)eLrCOS(肛及,(z)=P。(z)礦sincox分別是P。(z)e“‰h的實(shí)部與虛部,所以方程少+緲7+qY=P。(z)e∞’COS眥,(1),+緲7+qY=P,(z)emsinc叫(2)的特解分別等

4、于方程,+幻7+穢=P。(z)e“‰h的特解的實(shí)部與虛部,于是得到求方程(1)和(2)的特解的步驟.i)求方程,+力7+穢=P。(z)P“怕h的特解j,’;ii)y+的實(shí)部與虛部分別是(1)和(2)的特解.這樣(1)與(2)這兩類方程就可合并為一類方程,+緲7+qY=P。(z)礦(3)來求解,而方程(3)的特解為Y’=∥Q。(z)礦,令≯Q。(z)一Q(z)得Y’一Q(z)礦,將Y’代入原方程(3)得∥(z)+(22+p)Q7(z)+(A2+烈+口)Q(z)=P。(z)(4)當(dāng)A是特征方程的二重根時(shí),有A2+烈+q一0,22+P一0,則d7(z)一P,(

5、z).當(dāng)A是特征方程的單根時(shí),有A2+烈+q=0,但玖+戶≠0,則硝(z)+(22+p)d(z)=P(z);當(dāng)A不是特征方程的根時(shí),有Q”(z)+(22+p)Q’(z)+(A2+礎(chǔ)+q)Q(z)=P。(z).由此可以看出將特解,’一∥Q。(z)礦代入(3)式求Q。(z)與將Q(z)代入(4)式求Q(z)在本質(zhì)上一樣的,而且代入(4)式計(jì)算量大大減少。下面用上述方法來二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解:例1求微分方程少一6y7+9y=(z+1)e3。的1個(gè)特解.解特征方程r上一6r+9=0,特征根n=r2=3,所以A=3是特征方程的二重根,P。(z)一z+

6、1,故設(shè)特解y’=z2(ax+b)e3。=(ax3+婦2)ek,令Q(z)=凹3+k2,由穢(z)=P。(z)得6ax+2b—z+1,比較等式兩端同次冪的系數(shù)得收藕日期:2009—03—09作者簡(jiǎn)介:余智君(1976一)女,湖南邵陽(yáng)人,貴州大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部講師.萬方數(shù)據(jù)第3期余智君:二階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解術(shù)解方法的嘗試·5。f6口一1l口2百’≮,凈16:專.所以y。=c警+等)e3。.例2求微分方程,+2y7—3y=:re。的1個(gè)特解.解特征方程為r2+2r--3=0,特征根r,=1,r2=一3,所以A=1是特征方程的單根,P。(z)一z

7、,故設(shè)Y’=z(or+6)e。=(ax2+bx)e。,令Q(z)一仳2+bx,由穢(z)+(2A+p)Q7(z)一P。(z),2A+P一4,得2a+4(2ax+6)=z,比較等式兩端同次冪的系數(shù)得f8口:1l口2i’I2a+4b=。凈1一去,所以y’一(吾一蠢培.例3求微分方程,一2y7+2y=xe。cosz的1個(gè)特解.解(i)先求微分方程/一2y7+2y=xe‘1帥。的特解Y’.特征方程為r2—2r+2—0,特征根n—r2=1±i,所以A=1+i是特征方程的根,P。(z)一z。故設(shè)Y‘=x(ax+b)e‘1+ih一(ax2+bx)e“Ⅷ。,令Q(z)一

8、甜2+bx,由∥(z)+(2A+p)Q7(z)一P。(z),2A+P一4,得2口

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