求解線性非齊次高階方程的特解-常數(shù)變易法

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1、4.3非齊次高階線性方程特解的常數(shù)變易方法、疊加原理(UsethemethodofVariationofConstantstofindparticularsolutiontononhomogeneoushigherorderLinearODE)[教學(xué)內(nèi)容]1.介紹非齊次線性方程特解的常數(shù)變易法.2.介紹非齊次線性方程特解的疊加原理.3.介紹一些特殊求解方法（乘積求導(dǎo)法則、特征方程法和劉維爾公式）[教學(xué)重難點(diǎn)]重點(diǎn)是知道常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解；難點(diǎn)是如何給出未知函數(shù)滿足的方程.[教學(xué)方法]預(yù)習(xí)1、2、3；講授1、2、3[考核目標(biāo)]1.靈

2、活運(yùn)用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解.2.知道非齊次線性方程特解的疊加原理.3.知道一些特殊求解方法（乘積求導(dǎo)法則、特征方程法和劉維爾公式）1.常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解（以二階微分方程為例）(1)引例(1)求出方程;(2)的通解.這里和不是多項(xiàng)式函數(shù)、不是指數(shù)函數(shù)、不是可以用形式特解的待定系數(shù)法來(lái)求解方程的特解.(2)解法思路：考察(**).為了求出方程（**）的一個(gè)特解，先考慮相應(yīng)的二階齊次線性方程(*)，假定已知齊次線性方程的基本解組，則齊次線性方程的通解為，其中為常數(shù).現(xiàn)假定方程（**）具有形如的特解（這就是常數(shù)變易法叫法由來(lái)

3、！），經(jīng)計(jì)算得到，注意到將其代入原方程（**）只得一個(gè)等式，而這里有兩個(gè)未知函數(shù)，因此我們添加一個(gè)限制條件；進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)得到，將代入原方程得到，，注意到為方程（*）的解，因此上述左端第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都為零，即得到如下方程組，由此運(yùn)用克萊姆法則得到，這里為Wronski行列式，是不為零的（為什么？）.最后對(duì)上面兩個(gè)等式兩邊同時(shí)關(guān)于變量t積分可得.例56求解的一個(gè)特解.解：第一步：注意到原方程已是標(biāo)準(zhǔn)形式了，相應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為，特征值為.于是相應(yīng)的基本解組為.第二步：假定原方程具有如下特解，于是由常數(shù)變易法知，滿足，解得，.于是得到，，

4、其中為任意常數(shù).特別地，取得到所求特解為.例57.Findaparticularsolutiontothedifferentialequation.Solution(1)Theequationhasstandardformandtheassociatedhomogeneousequationis,whosecharacteristicequationis.Thenwegetandcorrespondingfundamentalsolutionstohomogeneousequationare.(2)Supposetheoriginalequati

5、onhasthefollowingparticularsolution,Thenweget.ByapplyingCramer'sRule,weget,Weuseintegrationbypartstodeterminethat,.Particularly,wechooseandgetaparticularsolutiontoourdifferentialequationis.作業(yè)51.FindaparticularSolutionofthedifferentialequation.例58.求方程的通解.解：（1）相應(yīng)齊次方程為，這是一個(gè)歐拉方程.

6、令其特征方程為，.于是相應(yīng)齊次線性方程的基本解組為.（2）改寫原方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，記.假定上述方程具有如下特解，于是有，,運(yùn)用分部積分法得到，；特別地，取，得到原方程的一個(gè)特解.因此，原方程的通解為，其中為任意常數(shù).作業(yè)52.求解的通解.2.非齊次線性方程的疊加原理（1）參見教材P131，習(xí)題2.例59求方程的一個(gè)特解.解：令.(1)考察相應(yīng)齊次線性方程，其特征方程的特征根為，相應(yīng)的基本解組為.(2)考察非齊次線性方程，假定方程具有特解，代入方程運(yùn)用待定系數(shù)法求得.(3)考察非齊次線性方程，運(yùn)用例56的結(jié)果知，(4)由非齊次線性方程的疊加原理知，原

7、方程的一個(gè)特解.作業(yè)53.求方程的通解.3.一類特殊齊次線性微分方程基本解組和特解求法（1）乘積求導(dǎo)法則：，.例60.求解方程(1);(2)通解.解：(1)令，于是方程的左端為，于是得到，其中為任意常數(shù).于是得到原方程的通解為，其中為任意常數(shù).（1）經(jīng)觀察不能直接運(yùn)用乘積求導(dǎo)法則，令，由，解得，此時(shí)，驗(yàn)證可知.原方程兩邊同除以，得到新方程為，解得通解為，于是原方程的通解為，其中為任意常數(shù).作業(yè)53.求解方程(1)的通解.(2)考察方程，假設(shè)代入得到特征方程，若特征方程有實(shí)常數(shù)根，則原方程具有解.(直接代入驗(yàn)證知結(jié)論成立)例61.求方程（1）的通解

8、；（2）一個(gè)特解.解：(1)改寫原方程為標(biāo)準(zhǔn)形式為，原方程的特征方程為，可得一實(shí)根，于是原方程存在一個(gè)解函數(shù).由劉維爾公式（教材P132