《格林函數(shù)法》PPT課件.ppt

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1、第三章格林函數(shù)法若已知點(diǎn)電荷(點(diǎn)源)產(chǎn)生的場(chǎng)(邊界無(wú)限遠(yuǎn),無(wú)初始條件）任意帶電體(任意源)產(chǎn)生的場(chǎng)(邊界無(wú)限遠(yuǎn)，無(wú)初始條件）積分得到若能求出某一點(diǎn)源在給定初始和邊界條件下產(chǎn)生的場(chǎng)任意源在相同初始和邊界條件下產(chǎn)生的場(chǎng)格林函數(shù)，又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理方程中的一個(gè)重要概念，也是求解各類定解問(wèn)題的另一種常用方法。積分得到：代表一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng)格林函數(shù)§5.1泊松方程的格林函數(shù)法邊值問(wèn)題的提法①第一邊值問(wèn)題（狄里希利問(wèn)題）求一函數(shù)，使之在區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程或拉普拉斯方

2、程，且在邊界上取已知值。②第二邊值問(wèn)題（諾伊曼問(wèn)題）求一函數(shù)，使之在區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程或拉普拉斯方程，在邊界上對(duì)外法線方向的導(dǎo)數(shù)取已知值。③第三邊值問(wèn)題（洛平問(wèn)題）求一函數(shù)，使之在區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程或拉普拉斯方程，在邊界上其本身和對(duì)邊界外法向?qū)?shù)的線性組合取已知值。2.格林公式上述定解問(wèn)題，都是要求在區(qū)域內(nèi)部求解，故又稱為內(nèi)問(wèn)題；若在區(qū)域外部求解，則稱為外問(wèn)題。在閉域上有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，則有（為外法線方向）上式稱為第一格林公式上式稱為第二格林公式，簡(jiǎn)稱格林公式3.泊松方程的

3、基本積分公式典型的泊松方程(三維穩(wěn)定分布）邊值問(wèn)題為了求解上面定解問(wèn)題，我們必須定義一個(gè)與此定解問(wèn)題相應(yīng)的格林函數(shù)它滿足如下定解問(wèn)題，邊值條件可以是第一、二、三類條件：①格林函數(shù)的引入代表三維空間變量的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中其形式為格林函數(shù)具有十分明確的物理意義：位于處且電量為的點(diǎn)電荷在接地的導(dǎo)體殼內(nèi)處所產(chǎn)生的電勢(shì)。由此可以進(jìn)一步理解通常人們?yōu)槭裁捶Q格林函數(shù)為點(diǎn)源函數(shù)．②格林函數(shù)的對(duì)稱性處的點(diǎn)源在點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)函數(shù)性質(zhì)處的點(diǎn)源在點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)場(chǎng)相同格林函數(shù)具有對(duì)稱性對(duì)稱性在電學(xué)上的意義：處單位點(diǎn)電荷在

4、處產(chǎn)生的電勢(shì)等于處單位點(diǎn)電荷在處產(chǎn)生的電勢(shì)根據(jù)格林公式，令得到即為根據(jù)函數(shù)性質(zhì)有：可得如下泊松方程的基本積分公式即由格林函數(shù)的對(duì)稱性可得解的基本思想：通過(guò)上面解的形式，我們?nèi)菀子^察出引用格林函數(shù)的目的：主要就是為了使一個(gè)非齊次方程與任意邊值問(wèn)題所構(gòu)成的定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)特定的邊值問(wèn)題，一般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本積分公式可求得定解問(wèn)題的解．分析：只須消掉公式中的項(xiàng)即可得到結(jié)果。3.第一邊值問(wèn)題格林函數(shù)相應(yīng)的格林函數(shù)是下列問(wèn)題的解：二維時(shí)二維時(shí)由格林函數(shù)的對(duì)稱性可得上式為第一邊值

5、問(wèn)題解的積分表示式§5.2用電像法求格林函數(shù)法無(wú)界空間的格林函數(shù)基本解①求出對(duì)應(yīng)的格林函數(shù)為求解泊松方程②利用解的積分表達(dá)式必須解一個(gè)特殊的泊松方程邊值問(wèn)題為求格林函數(shù)對(duì)一般形狀區(qū)域，要解決這個(gè)特殊的泊松方程邊值問(wèn)題也十分困難，但由于滿足的邊值問(wèn)題具有同一性，難度相對(duì)原問(wèn)題也有一定程度降低，特別是對(duì)泊松方程狄利克雷問(wèn)題其格林函數(shù)又有十分明確的物理圖像，因此該做法仍具有重要而積極意義。不僅如此，對(duì)若干特殊形狀區(qū)域，還可用初等方法求出，從而能夠解決該區(qū)域上的所有泊松方程的狄利克雷問(wèn)題。對(duì)狄利克雷問(wèn)題

6、的格林函數(shù)應(yīng)滿足：令代入上述定解問(wèn)題有再令（在區(qū)域內(nèi)）顯然沒(méi)有考慮邊界的影響（或者說(shuō)對(duì)應(yīng)著無(wú)界空間）注意①表示點(diǎn)處的源對(duì)點(diǎn)處的直接影響，表示點(diǎn)處的源對(duì)點(diǎn)處（通過(guò)邊界）的間接影響。②若認(rèn)為、是由點(diǎn)電荷、產(chǎn)生的電勢(shì)，則由它們滿足的方程可知：是所研究區(qū)域內(nèi)處的點(diǎn)電荷在所研究區(qū)域內(nèi)處產(chǎn)生的、且不計(jì)任何邊界或初始條件的電勢(shì)；則應(yīng)為點(diǎn)電荷在邊界上產(chǎn)生的感應(yīng)電荷的等效點(diǎn)電荷（電量未知，位置應(yīng)在所研究區(qū)域之外）在所研究區(qū)域內(nèi)處產(chǎn)生的并滿足一定邊界條件的電勢(shì)。稱為相應(yīng)方程的基本解（即無(wú)界空間的格林函數(shù)）二維空間：

7、③三維空間：2.電像法求特殊區(qū)域的格林函數(shù)根據(jù)格林函數(shù)的物理意義，利用電磁學(xué)中關(guān)于計(jì)算點(diǎn)電荷電勢(shì)的知識(shí)，針對(duì)特殊區(qū)域的具體形式，再結(jié)合幾何、數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容，就可求得相應(yīng)的格林函數(shù)，從而解決該區(qū)域上泊松方程的邊值問(wèn)題。這即是所謂的電像法。思路：例1試求球內(nèi)的泊松方程的狄利克雷問(wèn)題的格林函數(shù)。解：該定解問(wèn)題為三維，其基本解為則滿足O設(shè)產(chǎn)生的等效點(diǎn)電荷電量、位置（在的延長(zhǎng)線上且在球形區(qū)域以外，這樣方程自然滿足）因此：則O選取使得球形區(qū)域格林函數(shù)表達(dá)式；區(qū)域形狀不同其格林函數(shù)也會(huì)有所不同O例2試求解球內(nèi)的

8、泊松方程的狄利克雷問(wèn)題解：、在球坐標(biāo)系中單位矢量分別為設(shè)的球坐標(biāo)為球的拉普拉斯方程的狄利克雷問(wèn)題的格林函數(shù)由例1得：最后得例3試求圓的泊松方程的狄利克雷問(wèn)題的格林函數(shù)。解：圓的泊松方程的狄利克雷問(wèn)題的基本解應(yīng)滿足：設(shè)產(chǎn)生的等效點(diǎn)電荷電量、位置（在的延長(zhǎng)線上且在圓形區(qū)域以外，這樣方程自然滿足）OO則：仍選取使得可得：最后得：注意：這只是二維空間中圓形區(qū)域的格林函數(shù)表達(dá)式例4求解圓內(nèi)拉普拉斯方程狄利克雷問(wèn)題解：由例3，圓內(nèi)泊松方程狄利克雷問(wèn)題的格林函數(shù)為：例5在半平面內(nèi)求解邊值問(wèn)題解：在處放置一點(diǎn)電