第六章 格林函數(shù)法ppt課件.ppt

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1、第六章格林函數(shù)法本章主要研究基本解和格林函數(shù)及其在邊值問題中的應(yīng)用，并介紹初值問題的相關(guān)解法。6.1格林公式三維問題高斯公式其中n為S的外法線方向。（1）在高斯公式中取整理后得于是得到第一格林公式（2）得同理，有（3）將上二式兩邊相減得第二格林公式（4）幾種常用的形式在公式（4）中若令△v=δ(x,y,z)，并在邊界上取v=0，可得若令u=1，可得平面格林公式可以寫成對弧長積分的形式（5）（6）其中n=(n1,n2)為邊界曲線C的單位外法線向量。二維問題由公式（6）可推導(dǎo)出，平面第二格林公式（7）（8）其中n為邊界曲線C的外法線向量。邊界曲線弧長與坐標(biāo)之間，有如下

2、微分關(guān)系推導(dǎo)細節(jié)公式（6）左邊等于設(shè)公式（6）右邊等于如是證得公式（8）。推導(dǎo)細節(jié)幾種常用的形式在公式（8）中若令△v=δ(x,y)，并在邊界上取v=0，可得若令u=1，可得6.2基本解定義設(shè)L為線性微分算子，稱方程LU=δ(M-M0)的解U(M;M0)為方程LU=0或LU=f(M)的解本解，其中M為區(qū)域Ω內(nèi)任意一點，M0為Ω中的任意一個固定點。三維拉普拉斯方程的基本解由基本解定義可知，基本解U應(yīng)滿足方程以固定點M0為原點，建立球坐標(biāo)，并假設(shè)U與θ,φ無關(guān)，方程化為其中代表M點到M0的距離。求解常微分方程可得（9）考慮到基本解在r=0處應(yīng)具有奇異性，取A=0。為進

3、一步確定B值，對式（9）兩邊進行體積分得利用格林公式，有所以最后得三維拉普拉斯方程的基本解取邊界S為球面，其半徑為r，則有練習(xí)利用三維調(diào)和方程的基本解，試求三維雙調(diào)和方程的基本解。解以固定點M0為原點，建立球坐標(biāo)，并假設(shè)U與θ,φ無關(guān)。若U滿足（a）則必滿足設(shè)未知函數(shù)表達式為其中A為待定系數(shù)。將表達式代入方程（a），可得于是，最后得到雙調(diào)和方程的基本解二維拉普拉斯方程的基本解基本解U應(yīng)滿足方程以固定點M0為原點，建立極坐標(biāo)，并假設(shè)U與θ無關(guān)，方程化為其中代表M點到M0的距離。求解常微分方程得（10）考慮到基本解在r=0處應(yīng)具有奇異性，取A=0。為進一步確定B值，對

4、式（a）兩邊進行面積分得利用格林公式，有所以于是得二維拉普拉斯方程的基本解取邊界C為圓周，其半徑為r，則有定義滿足定解問題的函數(shù)稱為拉普拉斯方程第一邊值問題的格林函數(shù)，其中S為區(qū)域Ω的邊界。6.3格林函數(shù)三維格林函數(shù)的定義類似可定義三維拉普拉斯方程第三邊值問題的格林函數(shù)。滿足定解問題的函數(shù)稱為拉普拉斯方程第三邊值問題的格林函數(shù)，其中S為區(qū)域Ω的邊界。但是不可定義拉普拉斯方程第二邊值問題的格林函數(shù)。若定義滿足的函數(shù)稱為拉普拉斯方程第二邊值問題的格林函數(shù)。證明進行體積分并利用格林公式，可得易知齊次邊界條件無法滿足，上述定義不能成立，證畢。二維格林函數(shù)的定義定義滿足定解

5、問題的函數(shù)稱為拉普拉斯方程第一邊值問題的格林函數(shù)，其中B為平面區(qū)域D的邊界。定理格林函數(shù)具有對稱性，即G(M2;M1)=G(M1;M2)這里點M1的坐標(biāo)是(x1,y1)，點M2的坐標(biāo)是(x2,y2)。證明格林函數(shù)對稱性首先定義兩個格林函數(shù)其次根據(jù)格林公式格林函數(shù)的求法將格林函數(shù)看作是基本解與調(diào)和函數(shù)之和，即相應(yīng)的方程為及基本解在前面已經(jīng)求出，有界區(qū)域內(nèi)調(diào)和函數(shù)的求法在下一節(jié)介紹。假設(shè)格林函數(shù)已經(jīng)求出，下面研究三維泊松方程第一邊值問題解的積分表示。若u滿足如下定解問題則解u的積分公式為其中M(x,y,z)為積分變量。三維問題解的積分公式證明類似地可以證明二維拉普拉斯

6、方程第一邊值問題解u的積分公式為二維問題解的積分公式其中點M(x,y)為積分變量。6.4位勢方程第一邊值問題6.4.1半空間的格林函數(shù)半空間的格林函數(shù)滿足其中點M0(x0,y0,z0)的坐標(biāo)分量z0>0。zyxM0(x0,y0,z0)M1(x0,y0,-z0)MM1是M0關(guān)于z=0平面的對稱點，如右圖所示。O此式右端第一項是基本解，第二項在上半空間內(nèi)滿足拉普拉斯方程，顯然格林函數(shù)滿足齊次邊界條件（z=0）。設(shè)格林函數(shù)為基本解與調(diào)和函數(shù)之和利用半空間格林函數(shù)給出定解問題解u的積分表達式。應(yīng)用舉例利用相應(yīng)積分公式代入可得將格林函數(shù)及其的方向?qū)?shù)解6.4.2半平面上的格

7、林函數(shù)半平面的格林函數(shù)滿足其中點M0(x0,y0)的坐標(biāo)y0>0。yxM0(x0,y0)M1(x0,-y0)MM1是M0關(guān)于y=0直線的對稱點，如右圖所示。O此式右端第一項是基本解，第二項為上半平面內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，顯然格林函數(shù)滿足齊次邊界條件（y=0）。設(shè)格林函數(shù)為基本解與調(diào)和函數(shù)之和利用格林函數(shù)，求半平面上拉普拉斯方程應(yīng)用舉例狄利克雷問題的積分形式的解。解首先計算邊界上的方向?qū)?shù)代入相應(yīng)積分公式最后解得6.4.3球域上的格林函數(shù)在以原點為球心，以R為半徑的球域內(nèi)的格林函數(shù)滿足其中點M0(ρ0,θ0,φ0)的坐標(biāo)ρ0

8、ρ=R球面