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《國(guó)立臺(tái)灣海洋大學(xué)97年度教學(xué)卓越計(jì)畫大學(xué)生暑期學(xué)習(xí)計(jì)畫.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、國(guó)立臺(tái)灣海洋大學(xué)97年度教學(xué)卓越計(jì)畫大學(xué)生暑期學(xué)習(xí)計(jì)畫—執(zhí)行成果報(bào)告計(jì)畫名稱：平面曲線曲率之研究與動(dòng)畫模擬姓名：戴志豪指導(dǎo)學(xué)長(zhǎng)：高聖凱、李家瑋學(xué)長(zhǎng)指導(dǎo)教授：陳正宗終身特聘教授時(shí)間：2008/11/25前言在土木工程領(lǐng)域的範(fàn)疇中，工程上的數(shù)學(xué)應(yīng)用與計(jì)算，一直扮演著極為重要的角色。土木工程應(yīng)用上，與矩陣的計(jì)算在力學(xué)方面應(yīng)用相當(dāng)廣泛。的幾何與力學(xué)意義就是本研究想要了解的重點(diǎn)。研究議題以向量微積分觀點(diǎn)，探討平面曲線。利用曲線弧長(zhǎng)參數(shù)表示法作為切入點(diǎn)。以不同的參數(shù)表示式求得曲率半徑。透過Mathematica軟體建構(gòu)軌跡動(dòng)畫。探討彼此間的
2、關(guān)係，並整理出平面曲線曲率的各種計(jì)算公式。矩陣函數(shù) 的求解技巧與應(yīng)用。一、研究方法與數(shù)學(xué)推導(dǎo)：曲率與曲率半徑平面座標(biāo)系的微積分推導(dǎo)給一平面曲線y(x)，如圖(一)所示：圖(一)曲線y(x)的微小路徑變化y(x)在(x,y(x))處的切線斜率可表示為：(1)再對(duì)x做一次微分，可得(2)移項(xiàng)整理可得(3)利用弧長(zhǎng)表示式，可表示如下，其中為半徑，ds為弧長(zhǎng)(4)其中(5)(7)(6)根據(jù)(4)式得到將(3)式及(5)式代入(6)式得所以可得曲率κ如下：(8)平面座標(biāo)系的弧長(zhǎng)表示法給一平面曲線，其弧長(zhǎng)參數(shù)表示式為(x(s),y(s))
3、，則(9)(10)將(9)式代入(10)式，可得(11)將(9)式和(11)式代入(7)式，曲率半徑可轉(zhuǎn)成如下表示式(12)FrenetFormula給一平面曲線，其時(shí)間參數(shù)表示式為(x(t),y(t))，藉由弧長(zhǎng)關(guān)係式(13)可將時(shí)間參數(shù)表示法轉(zhuǎn)成至空間弧長(zhǎng)參數(shù)表示如下:(14)其中，為位置向量，為微小段路徑長(zhǎng)，如下圖(二)所示。圖(二)位移向量定義單位切向量為(15)則(16)因?yàn)闉閱挝磺邢蛄?，其長(zhǎng)度為1，亦即(17)取微分得(18)所以與單位法向量平行，因此我們可定義(19)則其長(zhǎng)度為(20)所以曲率半徑可藉由弧長(zhǎng)參數(shù)表示
4、法，變成(21)二、研究方法與結(jié)果矩陣函數(shù)運(yùn)算：運(yùn)算矩陣特徵值時(shí)，若為相異根，則以傳統(tǒng)相似轉(zhuǎn)換法，即可求得。若出現(xiàn)重根，則相似矩陣法無法解出真正的解。故需使用JordanCanonicalForm解決重根問題。1.無重根問題-傳統(tǒng)方法假設(shè)有一矩陣A，其特徵向量組成的矩陣為V。vn為矩陣V之列向量(22)，(23)且，(24)則(25)所以(26)2.重根問題-JordanCanonicalForm令有一矩陣A，其特徵值為重根。利用JordanCanonicalForm解決重根問題。矩陣特徵值有二重根時(shí)JordanForm表示為若
5、特徵值為四重根，則Jordan矩陣可表示如下(27)(28)(29)3.矩陣餘式定理應(yīng)用有一矩陣Ａ，特徵方程式為，特徵值為。由Cayley-Hamiltontheorem知。透過餘式定理可知(30)將分別代入(32)式，可求得，再由實(shí)數(shù)和矩陣可互換性質(zhì)，實(shí)數(shù)換為矩陣Ａ可得(31)代入矩陣Ａ解得4.算例例題1：已知矩陣，求(1)傳統(tǒng)方法求矩陣A的特徵方程式為(32)特徵值與其相對(duì)之特徵向量分別為(33)所以矩陣以表示方式為(34)(35)(36)(2)矩陣餘式定理求矩陣，可得特徵方程式為(37)所以特徵值、，由餘式定理列出(38)
6、將 與 代入，可解得(39)與代入(38)式可得(40)由實(shí)數(shù)和矩陣可互換性質(zhì)，將實(shí)數(shù)換為矩陣列出(41)和(36)式所得結(jié)果相吻合。例題2：求解重根問題已知，以矩陣餘式定理操作求解重根問題，求值特徵方程式為：(42)其特徵值為and(43)可由餘式定理寫出(44)t可視為常數(shù)。將、與代入(44)式，可得三條方程式。為求四個(gè)未知數(shù)需四條方程式，因，故缺少一條方程式。所以對(duì)x微分，將代入，得第四條方程式。四條方程式解四個(gè)未知數(shù)?？傻?、、and(45)可表示為(46)由於(47)代入(46)式可得(48)矩陣A代入解得(49)卡式座
7、標(biāo)轉(zhuǎn)換極座標(biāo)(二維)：圖(三)在平面座標(biāo)系上，給一向量(50)將(50)式對(duì)t微分可得：(51)整理可得：(52)由(52)式可得：(53)比較各種曲率表示式由微積分可直接推得(12)式之曲率半徑表示式(54)而利用FrenetFormula可得(21)式(55)而因?yàn)閱挝磺邢蛄?，所以故可?21)式表示如下(56)整理可得下表(一)。表(一)曲率半徑表示式之比較表微積分推導(dǎo)FrenetFormula優(yōu)點(diǎn)任何參數(shù)式均可適用。計(jì)算上較方便，但參數(shù)式須為弧長(zhǎng)表示法。函數(shù)型為時(shí)，較適用。說明若函數(shù)為可知其參數(shù)式故可直接利用此法，計(jì)算曲
8、率半徑，不用轉(zhuǎn)換為弧長(zhǎng)表示法。若函數(shù)為，其中可知其參數(shù)式故利用此方法計(jì)算曲率半徑會(huì)比較迅速。1.若函數(shù)為為函數(shù)型式，故可直接利用此法計(jì)算曲率半徑。2.此方法彈性比較大，只要是參數(shù)表示式均可使用。平面曲線動(dòng)畫模擬與FrenetFormula參數(shù)研究一般軌跡方程為聯(lián)
