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1、流體力學數(shù)值方法第六講擴散問題的有限體積法擴散問題的有限體積法◆通用形式流動與傳熱問題守恒形式的輸運方程()→?ρφ+div(ρUφ)=div(Γgradφ)+S?tφ瞬變項對流項擴散項源項▼在應用有限體積法（控制容積法）進行數(shù)值求解時，通常首先將通用公式在一個容積上進行積分，將微分方程轉化為積分方程，然后采用不同的近似方式在控制容積的邊界上對積分項進行處理，從而得到不同的差分格式。擴散問題的有限體積法◆有限體積法求解過程()→?ρφdV+div(ρUφ)dV=div(Γgradφ)dV+SdV∫?t∫∫∫φCVCVCVCVrrr高斯
2、定理∫div(a)dV=∫n?adACVA→r→∫div(ρUφ)dV=∫n?(ρφU)dACVAr∫div(Γgradφ)dV=∫n?(Γgradφ)dACVA?r→r∫()ρφdV+∫n?(ρφU)dA=∫n?(Γgradφ)dA+∫SdV?tφCVAACV擴散問題的有限體積法◆有限體積法輸運方程的物理意義?r→r∫()ρφdV+∫n?(ρφU)dA=∫n?(Γgradφ)dA+∫SdV?tφCVAACV總的變外法線方內法線方源項引化率向的對流向的擴散起的的通量通量增加率物理意義物理意義因對流而擴散而引引起的凈起的凈增減少量加量擴
3、散問題的有限體積法◆穩(wěn)態(tài)輸運方程r→rn?(ρφU)dA=n?(Γgradφ)dA+SdV∫∫∫φAACV◆非穩(wěn)態(tài)輸運方程?r→r∫∫()ρφdVdt+∫∫n?(ρφU)dAdt=∫∫n?(Γgradφ)dAdt+∫∫SdVdt?tφΔtCVΔtAΔtAΔtCV擴散問題的有限體積法◆穩(wěn)態(tài)純擴散div(Γgradφ)+S=0φdiv(Γgradφ)dV+SdV=0∫∫φCVCVrn?(Γgradφ)dA+SdV=0∫∫φACV一維穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法◆一維穩(wěn)態(tài)純擴散方程d?dφ??Γ?+S=0dx?dx?◆節(jié)點劃分（P點）有限體積法
4、的第一步是把求解域劃為離散的控制容積。一維穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法▼控制容積的取法方法A：一種是把控制容積的界面放在相鄰2個節(jié)點中間（先劃分節(jié)點）方法B：一種是把控制容積的中心節(jié)點放在控制容積的幾何中心（先劃分控制容積）一維穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法◆方程的離散d?dφ??dφ??dφ?∫?Γ?dV+∫SdV=?ΓA???ΓA?+SΔV=0CVdx?dx?CV?dx?e?dx?w?dφ?φ?φ?ΓA?=ΓAEP?dφ?φP?φWee?ΓA?=ΓwAw?dx?eδxPE?dx?wδxWPΓ=ΓW+ΓPΓE+ΓPwΓe=中心差分格式22SΔ
5、V=S+SφuPP一維穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法◆方程的離散φ?φφ?φEPPWΓA?ΓA+S+Sφ=0eewwuPPδxδxPEWP?ΓAΓA??ΓA??ΓA??eewwS??ee??ww?+S+?φ=φ+φ?xxP?P?x?E?x?Wuδδδδ?PEWP??PE??WP?aφ=aφ+aφ+SPPEEWWua=a+a?SPEWPΓAΓAwweea=a=WEδxδxWPPE一維穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法◆方程離散的步驟首先將微分方程在控制容積上進行積分，利用高斯定理把體積分轉化為控制容積邊界界面上的面積分，然后通過對界面上的參數(shù)的近似而得
6、到最終的離散方程。對界面上的有關參數(shù)的近似方法是確定最終離散格式的核心◆方程的求解（舉例）在每個節(jié)點都建立上述離散（對于內部節(jié)點，并不需要在每個節(jié)點上重復上述過程，內部節(jié)點的離散方程適用于所有內部節(jié)點，而對邊界節(jié)點則須重新按上述過程進行推導，因為不同的邊界節(jié)點界面上有關參數(shù)的近似處理方法不同），得到一個線性方程組。求解該方程組即可得每個節(jié)點的φ值。二維穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法◆二維穩(wěn)態(tài)純擴散方程???φ????φ??Γ?+??Γ??+S=0?x??x??y??y?◆節(jié)點劃分有限體積法的第一步是把求解域劃為離散的控制容積。二維穩(wěn)態(tài)擴散問
7、題的有限體積法◆控制方程在控制容積上積分???φ????φ??Γ?+??Γ??+S=0?x??x??y??y?◆高斯定理把體積分轉換為面積分得??φ???φ???φ???φ??ΓA???ΓA?+??ΓA?????ΓA??+SΔV=0??x?e??x?w??y?n??y?sx方向e，w兩個界面??φ?φE?φP?ΓA?=ΓA??φ?φP?φW?xeex?ΓA?=ΓwAw??eδPE??x?δxwWPy方向n，s兩個界面??φ?φ?φ??φ?φ?φPS?ΓA?=ΓANP?ΓA?=ΓA??nn?y?ssyyy?δ???nδNP??sPS二維
8、穩(wěn)態(tài)擴散問題的有限體積法φ?φφ?φφ?φφ?φEPPWNPPSΓA?ΓA+ΓA?ΓA+SΔV=0eewwnnssδxδxδyδyPEWPNPPSSΔV=S+SφuPP?ΓAΓAΓAΓA??eewwssnn?+++?Sφ
