對流擴(kuò)散問題的有限體積法課件.ppt

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1、對流-擴(kuò)散問題的有限體積法第九講流體仿真與應(yīng)用對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆通用形式流動與傳熱問題守恒形式的輸運(yùn)方程瞬變項(xiàng)對流項(xiàng)源項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)◆穩(wěn)態(tài)的對流-擴(kuò)散問題的守恒方程一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆一維無源項(xiàng)的穩(wěn)態(tài)對流-擴(kuò)散◆流動過程同時必須滿足連續(xù)性方程一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆一維穩(wěn)態(tài)問題有限體積法連續(xù)性方程當(dāng)時，對擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分，則對流-擴(kuò)散積分方程一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式均勻網(wǎng)格一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式通用的形式中心差分格式在擴(kuò)散問題中，精度較高，收斂性也較好。但當(dāng)有對流時，對控制容積界面處

2、的輸運(yùn)量如果采用相鄰兩節(jié)點(diǎn)的平均計(jì)算值，在一定條件下將出現(xiàn)不合理的結(jié)果。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式（例子）一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)通常，離散方程的誤差都是因離散而引起，當(dāng)網(wǎng)格步長無限小時，各種誤差都會消失。然而，在實(shí)際計(jì)算中，考慮到經(jīng)濟(jì)性（計(jì)算時間和所占的內(nèi)存）都只能用有限個控制容積進(jìn)行離散。因此，格式需要滿足一定的物理性質(zhì)，計(jì)算結(jié)果才能令人滿意。在數(shù)學(xué)上，一個離散格式必須要引起很小的誤差（包括離散誤差和舍入誤差）才能收斂于精確解，即要求離散格式必須要穩(wěn)定或網(wǎng)格必須滿足穩(wěn)定性條件。在物理上，離散格式所計(jì)算出的解必須要有

3、物理意義，對于得到物理上不真實(shí)的解的離散方程，其數(shù)學(xué)上精度再高也沒有價值。主要的物理性質(zhì)包括：守恒性、有界性和遷移性。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性所謂守恒，就是說通過一個控制容積的界面離開該控制容積、進(jìn)入相鄰的控制容積的某通量相等。為保證在整個求解域上的每個控制容積上的某通量守恒，則通過相同的界面該通量的表達(dá)式應(yīng)有相同的形式。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性用有限體積法建立離散方程時，在下列條件下滿足守恒要求①微分方程具有守恒形式；②在同一界面上各物理量及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離

4、散格式的性質(zhì)——守恒性滿足守恒性的離散方程不僅使計(jì)算結(jié)果與原問題在物理上保持一致，而且還可以使對任意體積（由許多個控制容積構(gòu)成的計(jì)算區(qū)域）的計(jì)算結(jié)果具有對計(jì)算區(qū)域取單個控制容積上的格式所估計(jì)的誤差。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性迭代法收斂的充分條件在所有節(jié)點(diǎn)至少有一個節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的P凈系數(shù)，如無源項(xiàng)時在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)它實(shí)際就是，有源項(xiàng)時在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界點(diǎn)它就是，為P點(diǎn)所有相鄰節(jié)點(diǎn)的系數(shù)的和。對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)來說，無源項(xiàng)時該收斂條件取“=”，有源項(xiàng)時該收斂條件取“<”，而對邊界節(jié)點(diǎn)必須要取“<”。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有

5、界性若離散格式產(chǎn)生的各節(jié)點(diǎn)系數(shù)能夠滿足上面的收斂條件，則離散方程組的節(jié)點(diǎn)系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的，從而保證能收斂。為保證離散方程組的節(jié)點(diǎn)系數(shù)矩陣對角占優(yōu)，對源項(xiàng)的線性化處理應(yīng)保證使取負(fù)值（取負(fù)值，則，從而保證了在邊界節(jié)點(diǎn)滿足收斂條件取“<”。）對角占優(yōu)是滿足有界性的特征。對于有界性的必要條件是：離散方程的各系數(shù)應(yīng)個有相同的符號，一般為正。如果離散格式不滿足有界性條件，則其解可能不會收斂；若收斂，則可能會振蕩。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——遷移性在對流-擴(kuò)散問題中，引入一個控制容積的Peclet數(shù)，它表征對流與擴(kuò)散的相對大小一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的

6、有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——遷移性③當(dāng)Pe為有限大小時，對流和擴(kuò)散同時影響一個節(jié)點(diǎn)的上、下游相鄰節(jié)點(diǎn)。隨著Pe的增加，下游受的影響逐漸增大，而上游受的影響逐漸變小。①，即純擴(kuò)散，無對流。②，即純對流，無擴(kuò)散。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式的性質(zhì)由必要條件知：假設(shè)，從而滿足有界性的必要條件。如果，則為負(fù)數(shù)，不符合有界性的必要條件?！跏睾阈浴跤薪缧詫α?擴(kuò)散問題的中心差分格式滿足守恒性。離散方程內(nèi)部節(jié)點(diǎn)：由連續(xù)性方程，因此，在所有內(nèi)部節(jié)點(diǎn)滿足收斂條件。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式的性質(zhì)中心差分格式的截?cái)嗾`差為2階，精度較高，但有條

7、件地滿足有界性，當(dāng)時穩(wěn)定。對給定的流體和，取決于流速u和網(wǎng)格步長。時，則要求u和很小。因此，它有一定的局限性?！踹w移性◆中心差分格式的特點(diǎn)由于該格式在計(jì)算P點(diǎn)對流和擴(kuò)散通量時對各個方向的相鄰節(jié)點(diǎn)的影響都考慮到了，而沒有考慮到對流與擴(kuò)散的相對大小。因此，在高Pe時不滿足遷移性要求。中心差分格式的缺點(diǎn)是，它不能識別流動的方向。一維穩(wěn)態(tài)對流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆迎風(fēng)格式迎風(fēng)格式（UpwindDifferencingScheme）在確定控制容積界面上的值時就考慮了流動的方向性，其思想為：在控制容積界面上對流項(xiàng)的取上游節(jié)點(diǎn)處的值，稱之為第二類迎風(fēng)格式。中心差分格式的缺點(diǎn)