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1、流體仿真與應(yīng)用第八講對(duì)流-擴(kuò)散問題的有限體積法對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆通用形式流動(dòng)與傳熱問題守恒形式的輸運(yùn)方程???????div(?U?)?div(?grad?)?S??t瞬變項(xiàng)對(duì)流項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)源項(xiàng)◆穩(wěn)態(tài)的對(duì)流-擴(kuò)散問題的守恒方程?div(?U?)?div(?grad?)?S?一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆一維無源項(xiàng)的穩(wěn)態(tài)對(duì)流-擴(kuò)散d??d?d????u????dxdx?dx?◆流動(dòng)過程同時(shí)必須滿足連續(xù)性方程d??u??0dx一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆一維穩(wěn)態(tài)問題有限體積法?????d?
2、??d???uA?e??uA?w???A????A??dx?e?dx?w連續(xù)性方程??uA?????uA???0ew?F??uD??x??weFw???u?wFe???u?eDw?De??xWP?xPE當(dāng)Ae?Aw時(shí)，對(duì)擴(kuò)散項(xiàng)采用中心差分，則對(duì)流-擴(kuò)散積分方程F??F??D??????D?????eewweEPwPW一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式均勻網(wǎng)格?W??P?E??P????we22??????EPWP????F?F?D????D???eweEPwPW22??Fw??Fe???Fw
3、??Fe???Dw????De????P??Dw???W??De???E??2??2???2??2???Fw??Fe?????Fw??Fe???Dw????De???Fe?Fw??P??Dw???W??De???E??2??2???2??2?一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式通用的形式a??a??a?PPEEWWFw?a?D?Ww?2?Fe?aE?De??2?a?a?a??F?F?PWEew???中心差分格式在擴(kuò)散問題中，精度較高，收斂性也較好。但當(dāng)有對(duì)流時(shí)，對(duì)控制容積界面處的輸運(yùn)量?如果采
4、用相鄰兩節(jié)點(diǎn)的平均計(jì)算值，在一定條件下將出現(xiàn)不合理的結(jié)果。一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆中心差分格式（例子）一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)在數(shù)學(xué)上，一個(gè)離散格式必須要引起很小的誤差（包括離散誤差和舍入誤差）才能收斂于精確解，即要求離散格式必須要穩(wěn)定或網(wǎng)格必須滿足穩(wěn)定性條件。在物理上，離散格式所計(jì)算出的解必須要有物理意義，對(duì)于得到物理上不真實(shí)的解的離散方程，其數(shù)學(xué)上精度再高也沒有價(jià)值。通常，離散方程的誤差都是因離散而引起，當(dāng)網(wǎng)格步長無限小時(shí)，各種誤差都會(huì)消失。然而，在實(shí)際計(jì)算中，考
5、慮到經(jīng)濟(jì)性（計(jì)算時(shí)間和所占的內(nèi)存）都只能用有限個(gè)控制容積進(jìn)行離散。因此，格式需要滿足一定的物理性質(zhì)，計(jì)算結(jié)果才能令人滿意。主要的物理性質(zhì)包括：守恒性、有界性和遷移性。一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性所謂守恒，就是說通過一個(gè)控制容積的界面離開該控制容積、進(jìn)入相鄰的控制容積的某通量相等。為保證在整個(gè)求解域上的每個(gè)控制容積上的某通量守恒，則通過相同的界面該通量的表達(dá)式應(yīng)有相同的形式。12345q1q5q???2??1?2??1?3??2?3??2?4??311e?x?2w??2e?3
6、w??3e?x?x?x?x?????????435454?????q4w4e5w5?x?x?x一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性12345q1q5?????????212132q???????11e2w2e?x?x?x?????????324354????????q?q?q3w3e5w515?x?x?x用有限體積法建立離散方程時(shí)，在下列條件下滿足守恒要求①微分方程具有守恒形式；②在同一界面上各物理量及一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——守恒性滿足守
7、恒性的離散方程不僅使計(jì)算結(jié)果與原問題在物理上保持一致，而且還可以使對(duì)任意體積（由許多個(gè)控制容積構(gòu)成的計(jì)算區(qū)域）的計(jì)算結(jié)果具有對(duì)計(jì)算區(qū)域取單個(gè)控制容積上的格式所估計(jì)的誤差。一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性迭代法收斂的充分條件?anb'?1在所有節(jié)點(diǎn)aP?anb?1至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)'aP'aP為節(jié)點(diǎn)P的凈系數(shù)，如無源項(xiàng)時(shí)在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)它實(shí)際就是aP??anb，有源項(xiàng)時(shí)在內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界點(diǎn)它就是'，a為P點(diǎn)所aP??anb?SP?nb有相鄰節(jié)點(diǎn)的系數(shù)的和。對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)來說，無源項(xiàng)時(shí)該收斂條件取
8、“=”，有源項(xiàng)時(shí)該收斂條件取“<”，而對(duì)邊界節(jié)點(diǎn)必須要取“<”。一維穩(wěn)態(tài)對(duì)流—擴(kuò)散問題的有限體積法◆離散格式的性質(zhì)——有界性若離散格式產(chǎn)生的各節(jié)點(diǎn)系數(shù)能夠滿足上面的收斂條件，則離散方程組的節(jié)點(diǎn)系數(shù)矩陣為對(duì)角占優(yōu)的，從而保證能收斂。為保證離散S方程組的節(jié)點(diǎn)系數(shù)矩陣對(duì)角占優(yōu)，對(duì)源項(xiàng)的線性化處理應(yīng)保證使P'取負(fù)值（SP取負(fù)值，則aP??anb?SP??anb，從而保證了在邊界節(jié)點(diǎn)滿足收斂條件取“<”。）對(duì)角占優(yōu)是滿足有界性的特征。對(duì)
