課件_有毒氣體擴散問題.ppt

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1、數(shù)學(xué)建模案例選講有毒氣體擴散問題(競賽練習(xí)題)一、有毒氣體擴散問題當(dāng)發(fā)生有毒氣體突發(fā)性泄露事故時，有關(guān)部門需要快速對泄漏源進行定位和識別，并科學(xué)預(yù)測有毒氣體的蔓延及影響范圍。其中，分析有毒氣體在大氣中的擴散是泄露事故后果分析的重要內(nèi)容，其目的在于定量地描述泄漏事故對人員和環(huán)境造成傷害的程度，并預(yù)測危害后果。2010年，一輛裝載環(huán)氧乙烷的運輸車輛在某國道上側(cè)翻，造成有毒氣體外泄。雖經(jīng)消防人員緊急處置，在等待救援和處置過程中，仍有大約1000個單位質(zhì)量的環(huán)氧乙烷氣體擴散到周邊區(qū)域。為了分析泄露事故可能引發(fā)的后果，在以事發(fā)點為中心東西南北各3

2、公里、高度150米范圍的空域中(如圖所示)，監(jiān)測部門對毒物的濃度進行了抽樣測量。由于公路北側(cè)是農(nóng)田而南側(cè)是綠化林帶，可能導(dǎo)致公路南北兩側(cè)的污染程度有一定差異，因此抽樣測量分為兩個部分進行。附件observation-1是公路北側(cè)區(qū)域的測量數(shù)據(jù)，附件observation-2是公路南側(cè)區(qū)域的測量數(shù)據(jù)，其中前3列為取樣點的坐標(biāo)，第4列為取樣點處毒物的濃度。問題：請建立數(shù)學(xué)模型研究，監(jiān)測部門檢測時環(huán)氧乙烷的分布情況。二、問題的分析題目要求討論監(jiān)測部門檢測時環(huán)氧乙烷的分布情況，也即要求給出某時刻某處毒物的含量表達式。本問題可以看做是一個污染源為

3、點源，且污染物為氣態(tài)或準(zhǔn)氣態(tài)的空氣污染問題(有毒氣體擴散問題)。案例我們知道，凡與反映擴散有關(guān)的現(xiàn)象，大都能由線性或非線性拋物型偏微分方程作為數(shù)學(xué)模型來定量或定性地加以表達，因此本問題應(yīng)該通過建立偏微分方程模型來解決?；谄⒎址匠痰臄U散模型涉及一系列的參數(shù)，如擴散系數(shù)、衰減系數(shù)等，這些題目中都沒有給出，因此需要通過給出的數(shù)據(jù)對一些參數(shù)進行估計。因此，本問題是一個偏微分方程反問題(系統(tǒng)辨識問題)。于是，問題解決思路如下：?通過機理分析，建立有毒氣體擴散的偏微分方程模型；?利用給定的觀測數(shù)據(jù)估計模型中的參數(shù)。由于影響擴散過程的氣象條件、地

4、形、下墊面狀況及污染本身的復(fù)雜性，到目前為止還沒有一個適用于各種條件的大氣擴散模式，來描述所有這些復(fù)雜條件下的大氣擴散問題。為此，我們根據(jù)問題的背景做出如下的合理假設(shè)。(1)有毒氣體初始泄漏時可看作在空中某一點向四周的瞬時釋放。(2)毒物向四周擴散時，氣象、地形等對其擴散的影響歸結(jié)為各方向上的擴散系數(shù)，并假定各方向的擴散系數(shù)分別為常數(shù)(3)擴散時存在衰減，如作物、植物對毒物的吸收等，擴散使質(zhì)量的減少與濃度成正比。(4)擴散前周圍空間毒物的濃度為零。三、數(shù)學(xué)模型的建立與求解1.數(shù)學(xué)模型的建立設(shè)u(x,y,z,t)是t時刻點(x,y,z)處

5、有毒氣體的濃度。任取一個閉曲面S，它所圍的區(qū)域是?，由于擴散，從t到t+?t時刻這段時間內(nèi)，通過S流入?的質(zhì)量為其中a2,b2,c2分別是沿x,y,z方向的擴散系數(shù)。由高斯公式由于衰減，?內(nèi)的質(zhì)量減少為其中k2為衰減系數(shù)。于是，在t到t+?t時刻間?內(nèi)由于擴散與衰減的合作用，積存于?內(nèi)的質(zhì)量為從另一個角度看，在t到t+?t時刻間?內(nèi)由于濃度的變化引起的質(zhì)量增加為顯然，M3=M1?M2，即因此，由?t,t,?的任意性得：上述方程是常系數(shù)線性拋物型方程，它就是有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型。設(shè)擴散源在點(x0,y0,z0)處，則此擴散問題滿足C

6、auchy問題：其中M為擴散源的質(zhì)量。用Fourier變換可求得Cauchy問題的解析解為于是，在t時刻任意點(x,y,z)處有毒氣體濃度的分布函數(shù)為但是，問題中并未給出參數(shù)a,b,c,k的具體數(shù)值，因而需要利用觀測數(shù)據(jù)對它們進行估計，從而得出u(x,y,z,t)的近似表達式。2.模型參數(shù)的估計下面對有毒氣體濃度的分布函數(shù)中出現(xiàn)的參數(shù)a,b,c,k進行估計。為此，令監(jiān)測部門對毒物抽樣測量的時刻為t0，觀測取樣值為(xi,yi,zi,mi)，其中mi為t0時刻(xi,yi,zi)處物質(zhì)的濃度，i=1,…,n。首先考慮取樣時刻。事實上，取樣

7、時刻是未知的，但若取樣時刻為t0，作變量替換t=t0?，則有?=t/t0，從而即上式仍然是常系數(shù)線性拋物型方程，與有衰減的擴散過程的數(shù)學(xué)模型形狀完全一致，故可令觀測取樣值的取樣時刻為t0=1。于是，(xi,yi,zi,mi)滿足其次考慮參數(shù)估計。對上式兩端取對數(shù)，有令則有關(guān)系式W=lnu(x,y,z,1)=?X+?Y+?Z+?由于我們獲得的觀測取樣值(xi,yi,zi,mi)可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的觀測取樣值(Xi,Yi,Zi,Wi)，于是利用多元回歸分析可以求出?,?,?,?的估計值，即可得到參數(shù)a,b,c,k的估計值。取x0=y0=z0=0

8、，利用Maltab中的回歸函regress，以及給定的觀測數(shù)據(jù)，分別估計公路北側(cè)和公路南側(cè)密度函數(shù)中的參數(shù)，有公路北側(cè)：a=1.15,b=1.61,c=0.91,k=0.1公路南側(cè)：a=1.15,b=0.7