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1、7隨機時間序列分析一.隨機時間序列隨機過程與隨機序列時間序列的性質(1)隨機過程與隨機序列隨機序列的現(xiàn)實對于一個隨機序列，一般只能通過記錄或統(tǒng)計得到一個它的樣本序列xl,x2,??????,xn,稱它為隨機序列｛xt｝的一個現(xiàn)實隨機序列的現(xiàn)實是一族非隨機的普通數(shù)列(2)時間序列的統(tǒng)計性質(特征量)均值函數(shù)：某個時刻t的性質時間序列的統(tǒng)計性質自協(xié)方差函數(shù)：兩個時刻t和S的統(tǒng)計性質吋間序列的統(tǒng)計性質自相關函數(shù)二.平穩(wěn)吋間序列模型所謂平穩(wěn)時間序列是指時間序列｛Xt,t=0,±1,±2,??????｝對任意整數(shù)t
2、,,且滿足以下條件：對任意t,均值恒為常數(shù)對任意整數(shù)t和k,rt,t+k只和k有關隨機序列的特征量隨時間而變化，稱為非平穩(wěn)序列平穩(wěn)序列的特性方差自相關函數(shù)：自相關函數(shù)的估計平穩(wěn)序列的判斷一類特殊的平穩(wěn)序列一一白噪聲序列隨機序列｛Xt｝對任何xt和xt都不相關，且均值為零，方差為有限常數(shù)正態(tài)口噪聲序列：口噪聲序列，且服從正態(tài)分布2?隨機吋間序列模型自回歸模型(AR)移動平均模型(MA)自回歸一移動平均模型(ARMA)(1)自回歸模型及其性質定義平穩(wěn)條件自相關函數(shù)偏自相關函數(shù)滯后算子形式①自回歸模型的定義描述
3、序列｛Xt｝某一時刻t和前P個時刻序列值之間的相互關系隨機序列｛et｝是白噪聲且和前時刻序列xk(k〈t)不相關，稱為p階口回歸模型，記為AR(p)②(一階)自冋歸序列平穩(wěn)的條件AR(1)平穩(wěn)的條件均值方差AR(1)平穩(wěn)的條件自協(xié)方差③AR(p)的自相關函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)自相關函數(shù)AR(p)的自相關函數(shù)例：求AR⑴的自相關函數(shù)例：AR(2)的自相關函數(shù)AR(p)自相關函數(shù)的拖尾性對AR(p)模型，其自相關函數(shù)不能在某一步之后為零(截尾)，而是按指數(shù)衰減，稱其具有拖尾性舉例④偏自相關函數(shù)⑤AR(p)的滯后算子
4、形式引進滯后算子B：—般有：(2)移動平均模型及其性質定義自相關函數(shù)滯后算子形式①移動平均模型的定義在序列｛xt｝中，xt表示為若干個白噪聲的加權平均和其中｛￡t｝是白噪聲序列，這樣的模型稱為q階移動平均模型,計為MA(q)②MA(1)的自相關函數(shù)MA(q)的自相關函數(shù)舉例③滯后算子形式AR(p)與MR(q)的比較(3)自回歸移動平均模型定義性質滯后算子形式①自回歸移動平均模型自回歸模型與移動平均模型的綜合②ARMA(p,q)的性質ARMA(p,q)兼有AR(p)和ARMA(q)的性質平穩(wěn)條件：與AR(p
5、)相同，與MA無關ARMA(1,1)平穩(wěn)條件ARMA(1,1)的口相關函數(shù)ARMA(1,1)的口相關函數(shù)③滯后算子形式性質總結三.時間序列模型的估計和預測模型識別與參數(shù)估計時間序列預測1.模型識別與參數(shù)估計模型識別參數(shù)估計階數(shù)的確定模型檢驗(1)模型識別自相關函數(shù)截尾一一MA(q)自相關函數(shù)拖尾偏自相關函數(shù)截尾AR(p)偏自相關函數(shù)拖尾ARMA(p,q)(2)模型參數(shù)估計AR(p)的最小二乘估計ARMA(p,q)的最小二乘估計①AR(p)的最小二乘估計②ARMA(p,q)的最小二乘估計(3)模型階數(shù)的確定
6、一一MA(q)或AR(p)口相關函數(shù)的截尾偏自相關函數(shù)的截尾模型階數(shù)的確定ARMA(p,q)AIC準則(Akaikeinfocriterion)ARMA(n,n-1)模型在確定平穩(wěn)隨機時間序列的階數(shù)時，可以優(yōu)先考慮ARMA(n,n-1)模型，比如從ARMA(2,1)試起，若擬合不好，考慮用ARMA(3,2),以此類推原因：用Hilbert空間算子形式的基本原理可以證明，對于任何平穩(wěn)隨機系統(tǒng)，可以用一個ARMA(n,n-l)近似到想要表達的程度用差分方穆的理論也可以證明，對于n階自回歸,MA的階數(shù)為n-l(
7、4)模型的檢驗2.時間序列模型預測AR(1)時間序列模型預測MA(1)時間序列模型預測ARMA(1,1)四?非平穩(wěn)時間序列與協(xié)整單整虛假冋歸協(xié)整誤差修正模型非平穩(wěn)時間序列舉例隨機游走隨機游走序列的方差無窮大(1)單整差分：用變量的當期值減去其滯后值而得到新序列的方法單整：若一個非平穩(wěn)的時間序列必須經(jīng)過d次差分之后才能變換成一個平穩(wěn)的ARMA時間序列，則稱具有d階單整性。記作單整性也稱齊次非平穩(wěn)性單整自回歸移動平均模型隨機時間序列經(jīng)過d次差分后變換成一個p階口回歸、q階移動平均的平穩(wěn)序列，則稱為單整自回歸移
8、動平均序列，記作ARIMA(p,d,q)也稱為d階齊次非平穩(wěn)時間序列，求和自冋歸移動平均序列，或綜合自回歸移動平均序列，或單積自回歸移動平均序列(2)虛假回歸兩個相互獨立的非平穩(wěn)序列，如對和的一個現(xiàn)實，作如下一元線性回歸：和相互獨立，因此應該有但如果假設檢驗的結果是，即T檢驗顯著，這就是虛假回歸問題。虛假回歸的原因當兩個相互獨立的1(1)序列進行回歸吋，回歸系數(shù)的t統(tǒng)計量不服從通常意義的t分布，而是發(fā)散的(服從維納Wiener
