54 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

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1、5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù))是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。具有以下特點：(1)應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線就可以判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。(2)便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響。(3)很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(4)奈氏判據(jù)稍加推廣還可用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.4.1輔助函數(shù)F(s)如圖示的控制系統(tǒng)，G(s)和H(s)是兩個多項式之比G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)1開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為把閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比稱之為輔助函數(shù)，記作F(s)，F(xiàn)(s)仍是復(fù)變量s的函數(shù)。=

2、1+Gk(s)2顯然，輔助函數(shù)和開環(huán)傳函之間只相差1?？紤]到物理系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中m?n，故F(s)的分子和分母兩個多項式的最高次冪一樣，均為n，F(xiàn)(s)可改寫為：F(s)具有如下特征：1）其零點和極點分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；2）零點和極點個數(shù)相同；3）F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。式中，zi和pi分別為F(s)的零點和極點。3F(s)曲線從B點開始，繞原點順時針方向轉(zhuǎn)了一圈。j??0?sziAF(s)ImRe0?FB5.4.2幅角原理在s平面上任選一點A通過映射?F(s)平面上F(A)。設(shè)?s只包圍zi，不包圍也不通過任何極點和其他零點。

3、從A點出發(fā)順時針轉(zhuǎn)一周回到A4幅角原理：如果封閉曲線內(nèi)有Z個F(s)的零點，P個F(s)的極點，則s沿封閉曲線?s順時針方向轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)平面上，曲線F(s)繞其原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)R為P和Z之差，即R=P?ZN若為負(fù)，順時針。5.4.3奈氏判據(jù)（1）0型系統(tǒng)?s為包圍虛軸和整個右半平面。s平面?s?映射?F(s)正虛軸j?(?:0??)F(j?)(?:0??)負(fù)虛軸j?(?:???0)F(j?)(?:???0)半徑?的半圓(1,j0)點?0j??s+?5F(j?)和G(j?)H(j?)只相差常數(shù)1。F(j?)包圍原點就是G(j?)H(j?)包

4、圍(-1，j0)點。GH平面0F平面?1對于G(j?)H(j?)?:0??，開環(huán)極坐標(biāo)圖；?:???0，與開環(huán)極坐標(biāo)圖以?軸鏡像對稱；F平面(1,j0)點就是GH平面的坐標(biāo)原點。6奈氏判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面根的個數(shù)為P，開環(huán)奈氏曲線（?:???0??）包圍(?1，j0)點的圈數(shù)為R，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面根的個數(shù)為Z，且有Z=P?R若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若Z?0，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。或當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線不包圍(?1，j0)點時，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，開環(huán)奈氏曲線包圍(?1，j0)點P圈時

5、，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7例5-10判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性（2）p=0，R??2z?p?R?2?0閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Rep=0???ReIm0?=0解：由圖知（1）p=0且R=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm0?1p=0?=0???8（3）p=0，R?0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm0?1?=0???p=09試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例5-11一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函當(dāng)?=0，Gk(j0)=k??180?當(dāng)???，Gk(j?)=0??90?ReIm0????=0?k解：已知p=1頻率特性10當(dāng)?k1，R=1z=p?R=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)?k>?

6、1，k<1，N=0，z=p?R=1閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。ReIm0????=0?k?111相應(yīng)地，在GH平面上開環(huán)極坐標(biāo)圖在?=0時，小半圓映射到GH平面上是一個半徑為無窮大，從?=0?到?=0+順時針旋轉(zhuǎn)N?180°的大圓弧。如此處理之后，就可以根據(jù)奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。0+（2）開環(huán)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)由于開環(huán)極點因子1/s，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在這種情況下，不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。?j?0如果要應(yīng)用奈氏判據(jù)，可把零根視為穩(wěn)定根。因此，在數(shù)學(xué)上作如下處理：在平面上的s=0鄰域作一半徑無窮小的半圓，繞過原點。0

7、?12?0j??s+?ImRe0?=0+???增補線?=0-13用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)，知p=0（2）作開環(huán)極坐標(biāo)圖起點：Gk(j0)=???90?終點：Gk(j?)=0??270?與坐標(biāo)軸交點：例5-12已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為令虛部=0，得，14系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖示：R=?2z=p?R=2∴閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)ImRe0?=0+???增補線?1?=0-R=0z=p?R=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)所作的增補線如虛線所示。>?115(3)由奈氏判據(jù)判穩(wěn)的實際方法用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制?從0??時的開環(huán)幅相曲線

8、，然后按其包圍(-1，j0)點的圈數(shù)R（逆時針為正，順時針為負(fù)）和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面根的個數(shù)P，根據(jù)公