仿射變換的應(yīng)用.pdf

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1、第26卷第4期聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol_26NO．42Ol3年12川JournalofLiaochengUniversity(Nat．Sci．)Dec．20l3仿射變換的應(yīng)用梁秀紅。竇龍江于興江。(1．聊城八中，山東聊城252000；2．聊城文軒中學(xué)，山東聊城252000；3．聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城252000)摘要利用仿射變換研究了橢圓的性質(zhì)關(guān)鍵詞仿射變換，橢圓，圓中圖分類號(hào)0182．1文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1672—6634(2013)04—0033~03．仿射變換(見El-I)是一種常見的變換，其定義

2、為定義稱平面丌到自身的一個(gè)變換T為仿射變換，如果對(duì)7c上的任意點(diǎn)P(x，)與其像P(，Y)之間的關(guān)系，由公式下式確定{1．Tg，l-~-au++a，}mzf≠o．Y=x+a22y+a23’1l一‘仿射變換保持圖形的同素性和結(jié)合性．所謂保持同索性就是把點(diǎn)(線)變成點(diǎn)，保持結(jié)合性就是把點(diǎn)在線上變成點(diǎn)在線上．現(xiàn)在利用仿射變換把圓的幾個(gè)性質(zhì)推廣到橢圓上．我們知道，半圓上的圓周角是直角．現(xiàn)把推廣到橢圓上．』LJ-、l’卜圓上的圓周角I璺I2f

3、精圓的圓周角設(shè)橢圓的方程為xzZy?n2r～。b西2一1I，則它的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-

4、el，o)，B(a，0)．設(shè)M(x。，Y。)為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，見圖2．作仿射變換，ZZ～，n(1)／y一，收稿日期：2013-06—01基金項(xiàng)目：山東省中青年科學(xué)研究獎(jiǎng)勵(lì)基金資助(BS20IOSF004)通訊作者：于興江，E—mail：yuxingjiang@lcu．edu．cn．34聊城大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)第26卷則橢圓變成了單位圓：z+Y一1，直線MB和MA的斜翠分另U為忌-Ⅷ一_Y二o，mYo．設(shè)橢圓上的點(diǎn)M在上述變換下變成了單位圓上的點(diǎn)M(z。，Y。)，而A和B分別變成A(一1，o)和B(1，O)(見圖1

5、)．易見直線B$I1M'A的斜率分別為和享盎，而這二者垂直，所以(。，(y。，(y一一一．’而一一一1于是利用公式(1)得五一毒==·差一52．這就得到下述定理定理1設(shè)M是橢圓xZTyZ一1上的一點(diǎn)，A和B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則直線MA和MB的斜率之積為常數(shù)一b2．口2013年高考數(shù)學(xué)(全國大綱卷，理科)有這樣一道題．橢圓C：莩十等=1的左、右頂點(diǎn)分別為A、A，點(diǎn)P在C上且直線PA。的斜率取值范圍是[～2，一1]．那么，直線PA斜率的取值范圍是(A)[1，]，(B)[3，丟]，(c)[T,1]，(D)[一3,11．由上述定

6、理，kpAkea=一}，現(xiàn)在一2≤愚PA?！芤?，可見kpA>0．所以一2kpa≤忌PA。kpa≤一lkpa，即一2kpA≤一}≤一lkeA，因此3≤足PA≤}，所以答案為B．M我們知道，對(duì)于圓下面的結(jié)論成立從圓+一外一點(diǎn)M(m，”)(mn≠O)向圓引切線MA和MB，BA，B是切點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)0是圓心．則弦AB被直線OM垂直平分．見圖3．證我們知道，從圓外一點(diǎn)向圓引切線，若(，)是切點(diǎn)，則切線方、√／程為s+￡一，上．于是fs。+t。一，(2)IsYn+tn一，(3)I冬I3圓上弦AB被直線OM垂直平分將(3)代人(2)，

7、整理得到關(guān)于t的二次方程m0+)t2—2，上￡+r4一仇2—0，解之得z一豐．其中，一研如此，便得兩組切點(diǎn)坐標(biāo)A：(s，￡>一(，—r(nr+ma))B：(s。，￡)一(r(mr+na)r(nr-ma))，，．。十從而弦AB的斜率為忌AB：==一署；直線0M的斜率為忌伽=，由于是矗AB一一1，所以O(shè)M-~AB垂直．此外，AB之中點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，)一(，)，而0M的方程顯然為一z，AB之中點(diǎn)的坐標(biāo)顯然滿足OM的方程，這表明OM平分AB．現(xiàn)在，我們把這個(gè)結(jié)論推廣到橢圓上．第4期梁秀紅等：仿射變換的應(yīng)用給定橢圓+一1a2。b2

8、’從它之外一點(diǎn)M(m，")(mn≠0)向橢圓引切線MA，MB，A，B為rJ切點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，見圖4．作仿射變換rZZ0，＆(4)rY，則它把圓x-t-y一r2變成了橢圓_r一1n2。b2’把圓的切點(diǎn)變成了橢圓上的切點(diǎn)，把圓外的一點(diǎn)變成了橢圓外一點(diǎn)，而坐標(biāo)原點(diǎn)保持不動(dòng)．設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(s，t)和I弩I4ff卣?qǐng)A上弦AB被線()M分(s2，t／2)，由公式(4)得z一，3，一．于是)一(，_／＼{a(mm：r十-na)，b(nrq-ma)一(S％tt)=(警，等)一(，b¨-(nr-ma)所以，AB的斜率為是AB

9、一一．a(chǎn)7I注意，在仿射變換下，M的坐標(biāo)-焚J甌¨am，)，所以oM的斜率為一．由于是憊AB一一≠一1，所以O(shè)M不垂直于AB．此外，OM的方程為Y：z，AB之中點(diǎn)坐標(biāo)為(1—一，’—一)』一(l7—7Z2-~n2，’m2+”z)．它顯然滿足OM的方程，此表明直線OM平分AB．至此，我們得到下面的結(jié)論．定理2給定橢圓x