仿射變換仿射平面與投影變換平面.pdf

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1、仿射平面與投影平面第一章仿射幾何學(xué)本章內(nèi)容的安排在于揭示一種思想方法，從觀察到概念形成到不變量系統(tǒng)再到代數(shù)系統(tǒng)，這種安排思想也充分反映了歷史上射影幾何建立過程中綜合方法與解析方法各有所長(zhǎng)交替作用互相影響的發(fā)展歷程。本節(jié)研究的內(nèi)容來自于生活、自然與生產(chǎn)建設(shè)實(shí)踐，如正交變換是從研究我們生活空間中物體位置改變的最簡(jiǎn)單的情形移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和鏡面反射開始的，仿射變換則是從太陽光的照射開始的。因此在本章的學(xué)習(xí)中應(yīng)注重于培養(yǎng)觀察能力。《數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)》中是這樣描述“觀察”與“歸納”的：“觀察是有意知覺的高級(jí)形式，它與有意注意結(jié)合在一起，與思維相聯(lián)系。怎樣進(jìn)行觀察？需要注意三點(diǎn)：一是有意識(shí)、有目標(biāo)，處處留

2、心，總想‘找岔兒’，從中發(fā)現(xiàn)點(diǎn)什么，否則就會(huì)熟視無睹，看等于不看；二是要有基礎(chǔ)，有必要的相關(guān)知識(shí)，否則難以看出‘門道兒’，而只能是‘外行看熱鬧’；三是要有方法，否則就看不到‘點(diǎn)子’上，抓不住要領(lǐng)。在觀察中，要特別注意從個(gè)別想到一般，從平常中發(fā)現(xiàn)異?！保欢皻w納是由個(gè)別事例向關(guān)于這一類事物的一般性的過渡，是一種對(duì)經(jīng)驗(yàn)、以實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果進(jìn)行去粗取精、去偽存真的綜合處理方法。人們用歸納法清理事實(shí)，概括經(jīng)驗(yàn)，處理資料，從而形成概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。通過本章學(xué)習(xí)，首先對(duì)觀察、歸納應(yīng)該有一個(gè)較為深刻的認(rèn)識(shí)，為在以后的學(xué)習(xí)中能熟練應(yīng)用觀察而打下良好的基礎(chǔ)，其次對(duì)數(shù)學(xué)研究的目標(biāo)之一——對(duì)象的結(jié)構(gòu)——有一個(gè)初

3、步的了解。12§1正交變換本單元分兩個(gè)部分介紹正交變換，其一是解析幾何中坐標(biāo)變換的復(fù)習(xí)，主要通過討論剛體運(yùn)動(dòng)中的特例——平移、旋轉(zhuǎn)和反射，揭示其中最基本的不變量——距離，進(jìn)而提煉出正交變換的概念。其二是利用不變量系統(tǒng)建立相應(yīng)的坐標(biāo)系，從而引入解析法，用代數(shù)方法解決正交變換的結(jié)構(gòu)問題。一、基本概念實(shí)例(a)平移是沿一定的方向推移物體的過程，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就有ìx￠=x+x0平移lX：í，即X￠=X+X0；0y￠=y+y?0(b)旋轉(zhuǎn)是物體繞著固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的過程，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就有ìx￠=xcosq-ysinq旋轉(zhuǎn)rq：í，?y￠=xsinq+ycosq?cosq-sinq?即X￠=

4、??÷÷X；èsinqcosq?(c)反射是關(guān)于一條固定直線的對(duì)稱，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就有ìx￠=x?10?反射rx：í，即X￠=??÷÷X。?y￠=-yè0-1?這三種變換是平面上物體運(yùn)動(dòng)的最基本方式，它們的組合就形成了物體在平面上的豐富多彩的運(yùn)動(dòng)方式。這三種變13換有一個(gè)最基本的共同的度量特征“保持兩點(diǎn)間的距離不變”，從而它們的組合也是如此。由此可給出如下概念：正交變換保持任何兩點(diǎn)間的距離不變的變換。通過研究正交變換的不變量系統(tǒng)：保持兩點(diǎn)之間的距離不變；保持直線之間的夾角不變等，由此可建立起相應(yīng)的在正交變換下保持不變的笛卡爾直角坐標(biāo)系。二、重要結(jié)果1．正交變換的代數(shù)表示：ìx￠=a

5、11x+a12y+a13,íy￠=ax+ay+a?2122232222其中a+a=a+a=1,aa+aa=0。1112212211211222T或用矩陣表示為X￠=AX+X,(AA=I)0T（滿足AA=I的方陣A稱為正交矩陣。）2．正交變換的結(jié)構(gòu)定理定理：正交變換可分解為平移、旋轉(zhuǎn)和反射的積。三例題選講例求以直線Ax+By+C=0為軸的軸反射變換公式。C解當(dāng)A10時(shí)，直線與x軸的交點(diǎn)為X(-,0)0A14A斜率為tgq=-,則B22B-A-2ABcos2q=，sin2q=。2222A+BA+B通過正交變換的分解可得X￠=lrrrl(X)X0qx-q-X0即?cosq-sinq??10?

6、?cosqsinq?X￠=?÷?÷?÷(X-X)+X?sinqcosq÷?0-1÷?-sinqcosq÷00è?è?è??cos2qsin2q?=?÷(X-X)+X?÷00èsin2q-cos2q?將各已知量分別代入，得22ìB-A2AB2AC?x￠=22x-22y-22?A+BA+BA+B（*）í22?2ABB-A2BC?y￠=-22x-22y-22?A+BA+BA+B容易驗(yàn)證，當(dāng)A=0時(shí)，（*）式也成立。所以（*）為所求。評(píng)注：正交變換，寥寥幾頁，但在全書中的地位十分重要，因?yàn)樗沂玖素灤┯谌珪难芯克枷敕椒ǎ海?）觀察具體的實(shí)際現(xiàn)象及相關(guān)資料（平移、旋轉(zhuǎn)和反射）；（2）歸納抽象，

7、形成概念（正交變換）；（3）研究不變性質(zhì)（正交變換的不變量系統(tǒng)）；15（4）利用不變量系統(tǒng)建立相應(yīng)的坐標(biāo)系（笛卡爾直角坐標(biāo)系）；（5）研究對(duì)象的結(jié)構(gòu)（正交變換的分解）?！?仿射變換本單元主要分兩個(gè)部分介紹仿射變換，其一是通過平行投影建立仿射對(duì)應(yīng)，研究仿射變換的不變量系統(tǒng)；其二是利用仿射變換的不變量系統(tǒng)建立與之相應(yīng)的仿射坐標(biāo)系，利用解析法研究仿射幾何。一、基本概念空間中的物體在太陽光的照射下，會(huì)在地面上投下影子。若物體是平面圖形，那么圖形和影子之