3.2 仿射變換.docx

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1、3.2仿射變換3.2.1齊次坐標(biāo)下一節(jié)我們就會(huì)知道仿射變換是一個(gè)組合了平移的線(xiàn)性變換。但是，因?yàn)橄蛄恐槐硎痉较蚝烷L(zhǎng)度，與位置無(wú)關(guān)，所以平移一個(gè)向量是無(wú)意義的，換句話(huà)說(shuō)，平移后的向量是不變的。平移只能作用在點(diǎn)上（即，位置向量）。齊次坐標(biāo)提供了一個(gè)便捷的表示方法用來(lái)統(tǒng)一處理點(diǎn)和向量。在齊次坐標(biāo)中，我們使用4個(gè)元素，我們通過(guò)它的第4個(gè)坐標(biāo)分量w來(lái)決定所描述的是一個(gè)點(diǎn)還是一個(gè)向量。確切地說(shuō)，我們寫(xiě)為：1．(x,y,z,0)用于向量2．(x,y,z,1)用于點(diǎn)我們將會(huì)看到，把w設(shè)為1是為了讓點(diǎn)的平移操作得到正確執(zhí)行，把w設(shè)

2、為0是為了防止向量在變換過(guò)程中發(fā)生平移。（我們不希望平移向量的坐標(biāo)，因?yàn)橄蛄靠梢愿淖兊闹挥蟹较蚝痛笮　揭茖?duì)向量來(lái)說(shuō)沒(méi)有意義。）注意：齊次坐標(biāo)的記法與圖1.17所示的概念一致。也就是，兩點(diǎn)相減q?p=(qx,qy,qz,1)?(px,py,pz,1)=(qx–px,qy–py,qz–pz,0)的結(jié)果是一個(gè)向量，而一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)向量相加p+v=(px,py,pz,1)+(vx,vy,vz,0)=(px+vx,py+vy,pz+vz,1)的結(jié)果是個(gè)點(diǎn)。3.2.2定義和矩陣表示一個(gè)線(xiàn)性變換無(wú)法表示所有我們需要的變換；所

3、以，我們需要添加一組叫做仿射變換的函數(shù)。仿射變換是一個(gè)線(xiàn)性變換加上一個(gè)平移向量b；也就是：或者用矩陣表示為：式中的A是線(xiàn)性變換的矩陣表示。如果使用w=1的齊次坐標(biāo)，則可表示為：（公式3.6）公式3.6中的4×4矩陣稱(chēng)為仿射矩陣的矩陣表示。額外添加的b就是指平移（即，位置的改變）。因?yàn)橄蛄繘](méi)有位置的概念，所以我們并不想將b作用在向量上。但是，我們還是想將仿射矩陣的線(xiàn)性變換部分作用在向量上。如果我們把向量的第四個(gè)分量w設(shè)置為0，那么b對(duì)應(yīng)的平移部分就不會(huì)作用到向量上。5/5注意：因?yàn)樾邢蛄颗c4×4仿射矩陣第4列的點(diǎn)乘

4、是[x,y,z,w]·[0,0,0,1]=w，所以這個(gè)矩陣不會(huì)改變輸入向量的w坐標(biāo)。3.2.3平移單位變換（identitytransformation）是一個(gè)線(xiàn)性變換，返回值就是輸入的向量；即，I(u)=u。這說(shuō)明線(xiàn)性變換的矩陣表示就是一個(gè)單位矩陣?，F(xiàn)在，我們將一個(gè)平移變換定義為一個(gè)仿射變換，這個(gè)仿射變換的線(xiàn)性變換部分是一個(gè)單位變換；即：如你所見(jiàn)，這可以簡(jiǎn)化將點(diǎn)u移動(dòng)b的操作。圖3.5說(shuō)明了如何平移物體——要對(duì)點(diǎn)u進(jìn)行平移，只需要將一個(gè)移位向量b和該點(diǎn)相加，即可得到新的點(diǎn)u+b。注意，要平移一個(gè)完整的物體，我們

5、就要通過(guò)相同的向量b來(lái)平移物體上的每個(gè)點(diǎn)。圖3.5通過(guò)位移向量b對(duì)螞蟻的位置進(jìn)行平移。根據(jù)公式3.6，τ的矩陣表示如下：這個(gè)矩陣稱(chēng)之為平移矩陣。平移矩陣的逆矩陣如下：例3.4假設(shè)我們通過(guò)一個(gè)最小點(diǎn)(?8,2,0)和一個(gè)最大點(diǎn)(?2,8,0)來(lái)定義一個(gè)正方形。讓正方形沿x軸平移12，沿y軸平移-10，z軸保持不變。則對(duì)應(yīng)的平移矩陣如下：5/5現(xiàn)在，對(duì)正方形進(jìn)行平移（變換），將正方形的兩個(gè)點(diǎn)與該矩陣相乘：結(jié)果如圖3.6所示。圖3.6沿x軸平移12，沿y軸平移?10。注意，當(dāng)沿z軸負(fù)方向俯視時(shí)，由于z值為0，幾何體看上

6、去是一個(gè)2D平面圖形。注意：令T為一個(gè)變換矩陣，通過(guò)計(jì)算vT=v′就可以對(duì)點(diǎn)/向量進(jìn)行變換。如果先使用T對(duì)點(diǎn)/向量進(jìn)行變換，然后再使用逆矩陣T-1進(jìn)行變換，我們就會(huì)得到初始的向量：vTT-1=vI=v。換句話(huà)說(shuō)，逆變換可以撤銷(xiāo)變換。例如，如果我們將一個(gè)點(diǎn)沿x軸移動(dòng)5，然后沿x軸移動(dòng)-5，會(huì)又回到出發(fā)點(diǎn)。類(lèi)似地有，將一個(gè)點(diǎn)沿y軸旋轉(zhuǎn)30°，然后反向旋轉(zhuǎn)30°，該點(diǎn)又回到了原來(lái)的位置?？偠灾?，逆變換矩陣的變換效果與變換相反，兩者的組合會(huì)導(dǎo)致不產(chǎn)生變換效果。3.2.4縮放和旋轉(zhuǎn)的仿射矩陣若b=0，仿射變換就退化為一個(gè)

7、線(xiàn)性變換。我們可以將任何一個(gè)線(xiàn)性變換表示成b=0的仿射變換。換句話(huà)說(shuō)，我們可以用一個(gè)4×4仿射矩陣表示任意一個(gè)線(xiàn)性變換。例如，縮放和旋轉(zhuǎn)矩陣可以用4×4矩陣寫(xiě)成如下形式：5/5通過(guò)這種方式，我們使用4×4矩陣表示所有變換，使用1×4齊次行向量矩陣表示點(diǎn)和向量，形式得到了統(tǒng)一。3.2.5仿射變換矩陣的幾何解釋在本節(jié)中，我們會(huì)對(duì)一個(gè)仿射變換矩陣中的數(shù)字表示的幾何意義有個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)。首先，考慮一個(gè)剛體變換，它是一個(gè)形狀保持不變的變換?，F(xiàn)實(shí)世界中的例子是將一本書(shū)從桌上拿起放到書(shū)架上，在這個(gè)過(guò)程中，你將書(shū)從書(shū)桌平移到了書(shū)架

8、，還改變了書(shū)的朝向（旋轉(zhuǎn)）。令τ為旋轉(zhuǎn)變換，b為位移矢量，則這個(gè)剛體變換可以用以下仿射變換表示：在矩陣表示中，使用其次坐標(biāo)（w=1表示位置，w=0表示向量，這樣平移就不會(huì)作用在向量上），上式可以寫(xiě)成：（公式3.7）現(xiàn)在看一下公式3.7的幾何意義，我們只需畫(huà)出矩陣中的行向量（參見(jiàn)圖3.7）。因?yàn)棣邮且粋€(gè)旋轉(zhuǎn)變換，所以它保存了長(zhǎng)度和角度信息；而且τ只是將標(biāo)準(zhǔn)基向量i，j和k旋