高考數(shù)列常考題型歸納總結(jié)匯總.doc

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1、高考數(shù)列常考題型歸納總結(jié)類型1an+1=an+f(n解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n，利用累加法(逐差相加法求解。例:已知數(shù)列{an}滿足a1=解：由條件知：an+1-an=12，an+1=an+1=11n+n2，求an。-1n+1n+n2n(n+1=1n分別令n=1,2,3,??????,(n-1，代入上式得(n-1個(gè)等式累加之，即(a2-a1+(a3-a2+(a4-a3+??????+(an-an-1=(1-12+(12-13+(1n13-14+??????+(1n-1-1n所以an-a

2、1=1-a1=1212+1-1n=32-1n，∴an=類型2an+1=f(nan解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為23an+1an=f(n，利用累乘法(逐商相乘法求解。nn+1例:已知數(shù)列{an}滿足a1=解：由條件知之，即a2a1?a3a2?a4a323，an+1=an，求an。an+1an=nn+1，分別令n=1,2,3,??????,(n-1，代入上式得(n-1個(gè)等式累乘????????anan-123n=12?23?34????????n-1n?ana1=1n又a1=，∴an=例:已知a1=3，an+1=解

3、：an=3(n-1-13(n-1+23n-43n-13n-13n+2an(n≥1，求an。?3(n-2-13(n-2+27?4?????3?2-13?2+26?3-13+2a1=?3n-3n-52??3=85n-3。1變式:（2004，全國I,理15．）已知數(shù)列{an}，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+???+(n-1an-1(n≥2，則{an}的通項(xiàng)an=??1?___n=1n≥2解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+???+(n-1an-1+nan，用此式減去已知式，得當(dāng)n≥2時(shí)，a

4、n+1-an=nan，即an+1=(n+1an，又a2=a1=1，∴a1=1,a2a1=1,a3a2=3,a4a3=4,???,anan-1=n，將以上n個(gè)式子相乘，得an=n!2(n≥2類型3an+1=pan+q（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p-1≠0）。解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+1-t=p(an-t，其中t=換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an.解：設(shè)遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2(an-t即an+1=2a

5、n-t?t=-3.故遞推公式為an+1+3=2(an+3,令bn=an+3，則b1=a1+3=4,且bn+1bn=an+1+3an+3=2.q1-p，再利用n-1n+1=2所以{bn}是以b1=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則bn=4?2,所以an=2n+1-3.變式:（2006，重慶,文,14）在數(shù)列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1，則該數(shù)列的通項(xiàng)an=_______________（key:an=2n+1-3）變式:（2006.福建.理22.本小題滿分14分）已知數(shù)列{an}滿足a

6、1=1,an+1=2an+1(n∈N*.（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列{bn}滿足4b-14b12-14bn-1=(an+1n(n∈N,證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；b*（Ⅲ）證明：n12-13

7、.∴4(k1+k2+...+kn-n=2nkn.∴2[(b1+b2+...+bn-n]=nbn,2[(b1+b2+...+bn+bn+1-(n+1]=(n+1bn+1.②－①，得2(bn+1-1=(n+1bn+1-nbn,即(n-1bn+1-nbn+2=0,nbn+2-(n+1bn+1+2=0.③－④，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0,即bn+2-2bn+1+bn=0,∴bn+2-bn+1=bn+1-bn(n∈N*,∴{bn}是等差數(shù)列①②證法二：同證法一，得(n-1bn+1-nbn+2=0令n=1

8、,得b1=2.設(shè)b2=2+d(d∈R,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明bn=2+(n-1d.（1）當(dāng)n=1,2時(shí)，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2時(shí)，bk=2+(k-1d,那么bk+1=kk-1bk-2=k[2+(k-1d]-2k-1k-1k-1這就是說，當(dāng)n=k+1=2+[(k+1-1]d.根據(jù)（1）和（2），可知bn=2+(n-1d對(duì)任何n∈N*bn+1-bn=d,∴{bn}（III）證明：akak+1=2-12k+1k-1=2-1