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1、函數(shù)的凹凸性在高考中的應用崇仁二中廖國華教學目的:①了解函數(shù)的凹凸性，掌握增量法解決凹凸曲線問題。②培養(yǎng)學生探索創(chuàng)新能力，鼓勵學生進行研究型學習。教學重點：掌握增量法解決凹凸曲線問題教學難點：函數(shù)的凹凸性定義及圖像特征教學過程：一、課題導入1.展示崇仁縣第二中學2008屆高三第一次月考試題12得分統(tǒng)計表班級考試人數(shù)答對人數(shù)答錯人數(shù)正確率高三（1）班（理）54193535.1%高三（11）班（文）61124919.7%2.組織學生現(xiàn)場解答月考試題12并進行得分統(tǒng)計，以引出課題———題目： 一高為Ｈ、滿缸水量為Ｖ的魚缸的截面如圖1所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞
2、中流出．若魚缸水深為ｈ時水的體積為Ｖ，則函數(shù)Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致圖象可能是圖2中的（ ?。ㄟx自《中學數(shù)學教學參考》2001年第1～2合期）的《試題集綿》．圖1圖2函數(shù)凹凸性問題是近幾年高考與平時訓練中的一種新題型．這種題情景新穎、背景公平，能考查學生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學素質，體現(xiàn)“高考命題范圍遵循教學大綱，又不拘泥于教學大綱”的改革精神．但由于函數(shù)曲線的凹凸性在中學教材中既沒有明確的定義，又沒有作專門的研究，因此，就多數(shù)學生而言，對這類凹凸性曲線問題往往束手無策；而教師的“導數(shù)”理解又不能被學生所接受．所以，對這類非常規(guī)性問題作一探索，并引導學生去得到一般
3、性的解法，無疑對學生數(shù)學素質的提高和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)以及在迅速準確解答高考中出現(xiàn)此類的試題都是十分重要的。二、新課講授1、凹凸函數(shù)定義及幾何特征⑴引出凹凸函數(shù)的定義：如圖3根據(jù)單調函數(shù)的圖像特征可知：函數(shù)與都是增函數(shù)。但是與遞增方式不同。不同在哪兒？把形如的增長方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)，而形如的增長方式的函數(shù)稱為凸函數(shù)。⑵凹凸函數(shù)定義（根據(jù)同濟大學數(shù)學教研室主編《高等數(shù)學》第201頁）：設函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對（a，b）上任意兩點、，恒有：（1），則稱為（a，b）上的凹函數(shù)；（2），則稱為（a，b）上的凸函數(shù)。⑶凹凸函數(shù)的幾何特征：幾何特征1（形狀特征）圖4（
4、凹函數(shù)）圖5（凸函數(shù)）如圖，設是凹函數(shù)y=曲線上兩點，它們對應的橫坐標，則，，過點作軸的垂線交函數(shù)于A，交于B，凹函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點與之間的部分位于弦的下方;凸函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點與之間的部分位于弦的上方。簡記為：形狀凹下凸上。幾何特征2（切線斜率特征）圖6（凹函數(shù)）圖7（凸函數(shù)）設是函數(shù)y=曲線上兩點，函數(shù)曲線與之間任一點A處切線的斜率：凹函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而增大；凸函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而減小；簡記為：斜率凹增凸減。幾何特征3（增量特征）圖8（凹函數(shù)）圖9（凸函數(shù)）圖10（凹函
5、數(shù)）圖11（凸函數(shù)）設函數(shù)ｇ（ｘ）為凹函數(shù)，函數(shù)ｆ（ｘ）為凸函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖8、9所示，由圖10、11可知，當自變量ｘ逐次增加一個單位增量Δｘ時，函數(shù)ｇ（ｘ）的相應增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越來越大；函數(shù)ｆ（ｘ）的相應增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越來越??； 由此，對ｘ的每一個單位增量Δｘ，函數(shù)ｙ的對應增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）凹函數(shù)的增量特征是：Δｙｉ越來越大；凸函數(shù)的增量特征是：Δｙｉ越來越?。缓営洖椋涸隽堪即笸剐?。弄清了上述凹凸函數(shù)及其圖象的本質區(qū)別和變化的規(guī)律，就可準確迅速、簡捷明了地解決有關凹凸的曲線問題．函數(shù)凹凸性的應用應用1凹凸曲線
6、問題的求法 下面我們用增量特征（增量法）準確迅速、簡捷明了地解決有關凹凸的曲線問題．題目： 一高為Ｈ、滿缸水量為Ｖ的魚缸的截面如圖12所示，其底部碰了一個小洞，滿缸水從洞中流出．若魚缸水深為ｈ時水的體積為Ｖ，則函數(shù)Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致圖象可能是圖13中的（ ?。畧D12圖13 解：據(jù)四個選項提供的信息（ｈ從Ｏ→Ｈ），我們可將水“流出”設想成“流入”，這樣，每當ｈ增加一個單位增量Δｈ時，根據(jù)魚缸形狀可知V的變化開始其增量越來越大，但經(jīng)過中截面后則越來越小，故Ｖ關于ｈ的函數(shù)圖象是先凹后凸的，因此，選Ｂ．例1 向高為Ｈ的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深ｈ的函
7、數(shù)關系的圖象如圖14所示，那么水瓶的形狀是（圖15中的）（ ?。?998年全國高考題）圖15圖14 解：因為容器中總的水量（即注水量）V關于ｈ的函數(shù)圖象是凸的，即每當ｈ增加一個單位增量Δｈ，V的相應增量ΔＶ越來越?。@說明容器的上升的液面越來越小，故選Ｂ．圖16例2 在某種金屬材料的耐高溫實驗中，溫度隨著時間變化的情況由微機記錄后再顯示的圖象如圖16所示．現(xiàn)給出下面說法： ①前5分鐘溫度增加的速度越來越快；?、谇?分鐘溫度增加的速度越來越慢；?、?分鐘以后溫度保持勻速增加；?、?分鐘以后溫度保持不變．其中正確的說法是（ ）．?。粒佗堋 。拢?/p>
8、②④ Ｃ．②③ ?。模?/p>
