函數(shù)的凹凸性在高考中的應(yīng)用.doc

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1、1、凹凸函數(shù)定義及幾何特征⑴引出凹凸函數(shù)的定義：如圖3根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征可知：函數(shù)與都是增函數(shù)。但是與遞增方式不同。不同在哪兒？把形如的增長(zhǎng)方式的函數(shù)稱為凹函數(shù)，而形如的增長(zhǎng)方式的函數(shù)稱為凸函數(shù)。⑵凹凸函數(shù)定義（根據(jù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編《高等數(shù)學(xué)》第201頁）：設(shè)函數(shù)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對(duì)（a，b）上任意兩點(diǎn)、，恒有：（1），則稱為（a，b）上的凹函數(shù)；（2），則稱為（a，b）上的凸函數(shù)。⑶凹凸函數(shù)的幾何特征：幾何特征1（形狀特征）圖4（凹函數(shù)）圖5（凸函數(shù)）如圖，設(shè)是凹函數(shù)y=曲線上

2、兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，則，，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)于A，交于B，凹函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的部分位于弦的下方;凸函數(shù)的形狀特征是：其函數(shù)曲線任意兩點(diǎn)與之間的部分位于弦的上方。簡(jiǎn)記為：形狀凹下凸上。幾何特征2（切線斜率特征）圖6（凹函數(shù)）圖7（凸函數(shù)）設(shè)是函數(shù)y=曲線上兩點(diǎn)，函數(shù)曲線與之間任一點(diǎn)A處切線的斜率：凹函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而增大；凸函數(shù)的切線斜率特征是：切線的斜率y=隨x增大而減小；簡(jiǎn)記為：斜率凹增凸減。幾何特征3（增量特征）圖8（凹函數(shù)）圖9（

3、凸函數(shù)）圖10（凹函數(shù)）圖11（凸函數(shù)）設(shè)函數(shù)ｇ（ｘ）為凹函數(shù)，函數(shù)ｆ（ｘ）為凸函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖8、9所示，由圖10、11可知，當(dāng)自變量ｘ逐次增加一個(gè)單位增量Δｘ時(shí)，函數(shù)ｇ（ｘ）的相應(yīng)增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越來越大；函數(shù)ｆ（ｘ）的相應(yīng)增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越來越??；　由此，對(duì)ｘ的每一個(gè)單位增量Δｘ，函數(shù)ｙ的對(duì)應(yīng)增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…）凹函數(shù)的增量特征是：Δｙｉ越來越大；凸函數(shù)的增量特征是：Δｙｉ越來越小；簡(jiǎn)記為：增量凹大凸小。弄清了上述凹凸函數(shù)及其圖象的本質(zhì)區(qū)別和變

4、化的規(guī)律，就可準(zhǔn)確迅速、簡(jiǎn)捷明了地解決有關(guān)凹凸的曲線問題．函數(shù)凹凸性的應(yīng)用應(yīng)用1凹凸曲線問題的求法　下面我們用增量特征（增量法）準(zhǔn)確迅速、簡(jiǎn)捷明了地解決有關(guān)凹凸的曲線問題．題目：　一高為Ｈ、滿缸水量為Ｖ的魚缸的截面如圖12所示，其底部碰了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出．若魚缸水深為ｈ時(shí)水的體積為Ｖ，則函數(shù)Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致圖象可能是圖13中的（　?。畧D12圖13　解：據(jù)四個(gè)選項(xiàng)提供的信息（ｈ從Ｏ→Ｈ），我們可將水“流出”設(shè)想成“流入”，這樣，每當(dāng)ｈ增加一個(gè)單位增量Δｈ時(shí)，根據(jù)魚缸形狀可知V的變

5、化開始其增量越來越大，但經(jīng)過中截面后則越來越小，故Ｖ關(guān)于ｈ的函數(shù)圖象是先凹后凸的，因此，選Ｂ．　ABCD例3（06重慶理）如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x，f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是（）圖17　解：易得弓形AxB的面積的2倍為f(x)=ｘ-sinｘ．由于ｙ１＝ｘ是直線，每當(dāng)ｘ增加一個(gè)單位增量Δｘ，ｙ１的對(duì)應(yīng)增量Δｙ不變；而ｙ２＝sinｘ是正弦曲線，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每當(dāng)ｘ增加一個(gè)單位增量Δｘ時(shí)，ｙ２對(duì)應(yīng)的增量ｉ（

6、ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越來越小，在［π，2π］上是越來越大，故當(dāng)ｘ增加一個(gè)單位增量Δｘ時(shí)，對(duì)應(yīng)的f(x)的變化，在ｘ∈［0，π］上其增量Δf(x)ｉ（ｉ＝1，2，3，…）越來越大，在ｘ∈［π，2π］上，其增量Δf(x)ｉ則越來越小，故f(x)關(guān)于ｘ的函數(shù)圖象，開始時(shí)在［0，π］上是凹的，后來在［π，2π］上是凸的，故選D．應(yīng)用2凹凸函數(shù)問題的求法例1、(2005·湖北卷)在y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x這四個(gè)函數(shù)中,當(dāng)0

7、　).　　A.0　　B.1　　C.2　　D.3　　分析：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,考察各函數(shù)的圖象.注意到對(duì)任意x1,x2∈I,且x1

8、5北京卷理13）對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下結(jié)論：①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③>0；④.當(dāng)f(x)=lgx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是（②③）。本題把對(duì)數(shù)的運(yùn)算（①②）、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（③）、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的凹凸性（④）等知識(shí)有機(jī)的合成為一道多項(xiàng)填空題，若對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有較清楚的理解便不會(huì)有困難，而靠死記硬背的考生就會(huì)有問題。