矩陣的初等變換及其應用.docx

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1、27線性代數(shù)第一次討論課1.導語2.討論內(nèi)容目錄3.正文4.個人總結(jié)[鍵入文字]27導語:矩陣是研究線性代數(shù)方程組和其他相關(guān)問題的有力工具,也是線性代數(shù)的主要研究啊、對象之一。它的理論和方法在自然科學、工程技術(shù)、社會科學等眾多領(lǐng)域等都有極其廣泛的應用。矩陣作為一些抽象數(shù)學的具體表現(xiàn),在數(shù)學研究中占有極其重要的地位。本文從矩陣的概念討論矩陣的運算及性質(zhì),進而討論用途很廣的矩陣的初等變換及其應用。討論內(nèi)容目錄矩陣的初等變換及其應用1.兩個矩陣的等價2.兩個矩陣的乘積3.將矩陣化為行階梯型、行最簡形、標準型4.求矩陣的秩5.求可逆

2、矩陣的逆矩陣6.求線性方程組的解7.判斷向量組的線性相關(guān)性8.求向量組的秩與極大無關(guān)組9.求矩陣的對角化矩陣(采用行列初等變換,對角線元素為特征值)10.二次型化為標準形正文一、矩陣的等價1.定義:若矩陣A經(jīng)過一系列初等行變換化為B矩陣,則稱A[鍵入文字]27與B行等價;若矩陣A經(jīng)過一系列初等列變換化為B矩陣,則稱A與B列等價;若矩陣A經(jīng)過一系列初等變換化為B矩陣,則稱A與B等價(相抵)。2.矩陣的等價變換形式主要有如下幾種:1)矩陣的i行(列)與j行(列)的位置互換;2)用一個非零常數(shù)k乘矩陣的第i行(列)的每個元;3)將

3、矩陣的第j行(列)的所有元得k倍加到第i行(列)的對應元上去;即如果兩個矩陣可通過有限次上述變換中的一個或幾個的組合變?yōu)橐粯拥?,兩個矩陣等價。3.矩陣等價具有下列性質(zhì)(1)反身性任一矩陣A與自身等價;(2)對稱性若A與B等價,則B與A等價;(3)傳遞性若A與B等價,B與C等價,則A與C等價;注意:矩陣作初等變換是矩陣的一種運算,得到的是一個新矩陣,這個矩陣一般與原矩陣不會相等。下面舉例說明矩陣等價及等價變換:[鍵入文字]27顯然,根據(jù)矩陣等價的定義,以上變換過程中的每一個矩陣均為等價的,每個步驟都是等價轉(zhuǎn)換。二.矩陣的乘法1

4、.定義:設(shè)A=()是一個m*s的矩陣,B=()是一個s*n的矩陣,規(guī)定矩陣A與矩陣B的乘積是m*n矩陣C=(),記為C=AB,其中(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)由矩陣乘積的定義可見,不是任何兩個矩陣都可以相乘。位于左邊矩陣的列數(shù)與位于右邊矩陣的行數(shù)相等的兩個矩陣才能相乘;其乘積是一個與左邊矩陣有相同行數(shù),與右邊矩陣有相同列數(shù)的矩陣;乘積矩陣的第i行第j列的元等于左邊矩陣第i行的各元與右邊矩陣第j列的對應元乘積之和。所謂對應元,及第i行的列號與第j列的行號相同的元。[鍵入文字]27例:求矩陣A=31-12041-1

5、2與B=231503的乘積。解:AB=31-12041-12231503=3×2+1×1+(-1)×03×3+1×5+-1×32×2+0×1+4×02×3+0×5+4×31×2+-1×1+2×01×3+-1×5+2×3=71141814注意:1).矩陣乘法不滿足交換律,即在一般情況下,AB≠BA.2).兩個非零矩陣之積可能為零矩陣。3).若A≠O,AB=AC,不能推出B=C.2、矩陣乘法滿足下列運算規(guī)律:(1)(AB)C=A(BC);(2)A(B+C)=AB+BC,(B+C)A=BA+CA;(3)α(AB)=αAB=A(αB

6、),其中α是數(shù);(4)EmAm*n=Am*nEn=Am*n.三、將矩陣化為行階梯型、行最簡型、標準型將矩陣化為行階梯型、行最簡型、標準型就是利用矩陣的初等變換。下面是以上三種形式的定義:1、若滿足以下兩個條件:(1)若有零行(元全為0的行),則零行位于非零行(元不全為0的行)的下方;(2)每個首非零元(非零行從左邊數(shù)起第一個不為零的元)前面零[鍵入文字]27的個數(shù)逐行增加。則為行階梯型,簡稱階梯型。2、首非零元為1,且首非零元所在的列其他元都為0的行階梯形稱為行最簡矩陣,簡稱最簡形。3、對任何m*n矩陣A,必可經(jīng)有限次初等變

7、換化為如下形式的矩陣我們稱N為矩陣A的等價標準形。此標準形是有m,n,r完全確定的,其中r就是行階梯矩陣中非零行的個數(shù)。是否每個矩陣都能經(jīng)過初等變換化為行階梯型或行最簡型呢?下面這個定理給出了肯定的回答。定理1:任意m*n矩陣A總可以經(jīng)初等變換行階梯型及行最簡型矩陣。推論:m×n矩陣A經(jīng)過初等變換化為的行最簡型是唯一的。例:[鍵入文字]27則B為階梯型,C為最簡型。四、求矩陣的秩矩陣的秩是矩陣的一個重要的數(shù)值特征,是反映矩陣本質(zhì)屬性的一個不變的量。它在線性方程組等問題的研究起著非常重要的作用。下面我們介紹一下矩陣秩的求解方法

8、。1.矩陣的秩的定義:如果矩陣A中有一個不等于零的r階子式D,而所有的r+1階子式(如果存在的話)全為0,那么D稱為矩陣A的一個最高階非零子式。數(shù)r稱為矩陣A的秩,記作R(A)或r(A),并規(guī)定零矩陣的秩為0.由定義可得:(1)若矩陣A有一個r階子式不等于零,則(R)≥r,若矩陣A的所有r

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