巧變換 妙解題.pdf

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1、換妙解題口曾曉陽在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，經(jīng)常會(huì)碰到涉及含(2)當(dāng)口>0時(shí)，‘．‘≥O，．。．a(chǎn)x+2+1>0，．。．不等型函數(shù)的一類不等式恒成立中求參數(shù)范圍的問題，此式>fax++1在xEEo，+oo)上恒成立甘ln≥類問題的解決一般要依賴于導(dǎo)數(shù)工具的應(yīng)用，若利用ln(ax。+2+1)在xEE0，+oo)上恒成立甘z≥ln(ax“分離參數(shù)法”求解，往往會(huì)受到所構(gòu)函數(shù)的最值無法++1)在2∈Eo，+oo)上恒成立甘ln(口z+z+1)一求解的困擾；若直接構(gòu)造函數(shù)求其最值，卻由于礦的≤O在士∈Vo，+oo)上恒成立．導(dǎo)數(shù)仍是其本身無法回避，給接下來的一系列求設(shè)g()=ln(ax++1)-

2、x(x>~O)，解——尤其是如何對(duì)所求參數(shù)進(jìn)行分類討論帶來了則g一一一較大的麻煩，因此，找到一種自然、順暢、可行、簡捷的解法就顯得非常關(guān)鍵．一口z(x-2a~1)數(shù)學(xué)家G·波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解±．．——．—．．—．．———．—．．一口z+z+1’題是命題的連續(xù)變換，可見變換思想的應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中起著至關(guān)重要的作用．針對(duì)面臨的數(shù)學(xué)問題，從①當(dāng)≤o即o

3、果．由于與lnx存在著千絲萬縷的②當(dāng)絲：>o即n>1時(shí)聯(lián)系，而且lnx的導(dǎo)數(shù)能很好地規(guī)避自身的影響，為，若oo諾z>，g)

4、(x)在：處取得極大值即為最大值，學(xué)們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題的過程中一點(diǎn)啟迪、一點(diǎn)幫助．例1(2010年全國新課程理科21題)設(shè)函數(shù)且g()>g(0)=0，，(z)=一1一z一日。．·．g()≤g()．g(絲)≤0(I)若a=O，求廠()的單調(diào)區(qū)間；．，這顯然矛(11)若當(dāng)≥o時(shí)廠()≥O，求a的取值范圍．盾，不符合題意，舍去．解析：(I)若a=O，則，(z)一礦一1一．，()的單調(diào)遞減區(qū)間為(一。。，O)，，(z)的單調(diào)綜上所述，“≤專，．．．謇數(shù)n的取值范圍為(一o。，遞增區(qū)間為(O，+o。)，過程略．]J(U)依題意有一1一z一口≥0在∈Fo，’+。。)上恒成立．從例1的解析中不難發(fā)現(xiàn)

5、，在對(duì)已知不等式進(jìn)行(1)當(dāng)n≤0時(shí)，由(I)得，礦一1一z>t0，又z≥O，變形的過程中，必須始終關(guān)注變形的等價(jià)性，這是問顯然恒成立；題成功解決的關(guān)鍵所在．將式子單獨(dú)置于不等式一56一的一邊的同時(shí)，對(duì)于不等式另一邊的式子符號(hào)性質(zhì)特征也應(yīng)該特別謹(jǐn)慎小心，唯有保證其為正數(shù)，才能確保實(shí)施兩邊同取自然對(duì)數(shù)后達(dá)成等價(jià)變換．為了使問題的解答實(shí)施起來更為簡單便捷，還經(jīng)常需要我們先’觀察判斷在已知變量范圍的條件下參數(shù)哪些范圍的·．g()在一處取得極大值即為最大值，且取值符合題意或哪些范圍的取值不符合題意，這樣可g()>g(0)一0，縮小參數(shù)討論的范圍，達(dá)到事半功倍．已知不等式恒等變換后，構(gòu)造一個(gè)與

6、1眥有關(guān)的新的函數(shù)，對(duì)其進(jìn)·．．g()≤g()．g()≤o，顯然矛盾，不行求導(dǎo)并通分，重點(diǎn)研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)其單調(diào)性的符合題意，舍去．影響，最終再確定新函數(shù)的最值，從而解決問題，需要綜上所述，?！?，．。．實(shí)數(shù)口的取值范圍為(一cx3，注意的是，在求解的過程中，若能始終將數(shù)形結(jié)合的1]．思想貫穿其中，問題解決的思路會(huì)更直觀、清晰．例3(2006年全國J卷理科21題)已知函數(shù)為了對(duì)以上解法的技巧有更深的認(rèn)識(shí)和了解，下(z)一l+x面我們不妨再舉兩例加以說明，以便同學(xué)們能從中進(jìn)一e一一．一步地體會(huì)這一方法的巧妙與獨(dú)特．(I)設(shè)a>O，討論一，()的單調(diào)性；例2(2011年全國卷I文科21

7、題)設(shè)函數(shù)，(z)(Ⅱ)若對(duì)任意xE(O，1)恒有_廠(z)>1，求。的取一(礦一1)-aX．1值范圍．(I)若口：÷，求，()的單調(diào)區(qū)間；解析：(I)過程略．(1I)若當(dāng)≥o時(shí)廠()≥O，求n的取值范圍．(Ⅱ)。．‘OO，(Ⅱ)依題意有z(一1)～a．T≥0在z∈[O，依題意有，l~x甜>1在V∈(o，1)上恒成立+。。)上恒成立．(i)若=0時(shí)，