淺析向量在面幾何中的應用.doc

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1、淺析向量在平面幾何中的應用自從向量知識進入中學教材以來，向量作為一個工具來研究和解決數(shù)學問題被引起了極大的關注，特別是用來解決平面幾何中的問題，其工具性更為突出。一方面，向量與平面幾何本身存在著密切的聯(lián)系，且平面幾何中的許多問題需添加輔助線，有時需進行論證推理，致使許多學生對幾何問題都有一種畏懼的心理；另一方面，向量的運算許多都可轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算，不用去考慮幾何圖形的形狀，這樣容易入手、簡捷、明快，它克服了平面幾何綜合論證中常要添加若干輔助線而顯得不宜捉摸的缺點，即用向量解平面幾何具有一定的優(yōu)越性。并且用向量解平面幾何問題，可以激發(fā)

2、學生的興趣，拓寬學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和能力。1.向量與平面幾何的聯(lián)系向量與平面幾何的聯(lián)系是向量本身決定的。首先，從向量的概念來看，既有大小又方向的量稱為向量，用有向線段來表示，并規(guī)定：有向線段的方向就是向量的方向，有向線段的長度就是向量的大小，稱為向量的模，因此向量的模與平面幾何中的線段建立起了聯(lián)系。其次，由于我們研究的向量是自由向量（只有大小和方向，而無特定位置的量），所以任何向量都可平移到始點為坐標原點的向量，稱之為向徑。即若向徑，則對應平面上的點，反之若平面上的點為，則向徑，于是向徑與平面上的點就建立了一一對立的關系

3、。在平面幾何中，平面幾何圖形是點的集合，而這些平面幾何的點又可以用向量來表示，故從向量的相關概念與平面幾何中的元素關系來看，平面幾何問題中的線段相等、平行、垂直、線段的長度、線與線的夾角均可轉(zhuǎn)化為相應的兩向量的模相等、兩向量平行、垂直，求向量的模及兩向量的夾角等。引理（1）若，則（2）若，則（3）若，，則2.向量在平面幾何的應用分析由向量與平面幾何的聯(lián)系可知，平面幾何問題可轉(zhuǎn)化為向量問題來解決，在這個轉(zhuǎn)化過程中，首先需要將已知條件和所求問題轉(zhuǎn)化成向量，否則無法用向量解決。然后再用向量的相關性質(zhì)和運算解決問題，最后還原問題的本質(zhì)，翻譯

4、成幾何問題形式。2.1建立適當?shù)淖鴺讼?，將所求問題向量化一個向量可用或有向線段表示，其大小為，此時向量的方向只能用方向角或方向余弦來表示，元素較多，然而向量也可用坐標分量表示，而且向量的性質(zhì)及運算用坐標表示非常清晰、明了，就是一些實數(shù)的加、減、乘等的運算，已經(jīng)代數(shù)化了。向量在許多方面的應用也多用坐標分量表示，這就需要先建立直角坐標系，用坐標分量表示出向量，將問題向量化。例1P是正方形ABCD的對角線BD上的任意一點，且PECF是矩形，證明：PA=EF且PA⊥EF。：若題目中所給的圖形較為規(guī)則(如:正方形、矩形、圓等)，則只需建立適當

5、的坐標系，就可以將平面圖形的點、線用坐標簡捷、明了的表達出來，且點、線的向量坐標表示容易求解。圖1AyxDBFEPC解：以D為坐標原點，建立坐標系如圖1設正方形的邊長為a，則A（0，a）、C（a，0）、B（a，a）、D（0，0）又設P（，）（a），則E（，0）于是=（，）-（0，）=（，-），=（，）-（，0）=（-，）=，==，即又·=（-）+（-）=0⊥即就此例題，若選擇點A或C，或B或P為坐標原點，問題也是能夠解決的，只是在運算上更為復雜一些。例2已知△ABC中，∠ACB=，AC=BC，D為AC的中點，E為AB上一點，且AE=

6、EB，試證BD⊥CE。分析：因為∠ABC是直角，則以點C為坐標原點，兩直角邊分別為x軸，y軸建立直角坐標系。yxABCDE圖2證明：如圖2，以點C為坐標原點，兩直角邊分別為x軸和y軸，建立直角坐標系設A（a，0），B（0，a），C（0，0）則D為，E為因此，，即此例也可以選擇其它的點作為坐標原點，且問題也能解決，但運算就較為復雜一些。注：不是所有的平面幾何問題用向量解決時都要先建立直角坐標系，比如題目中出現(xiàn)的平面圖形不是上面說的規(guī)則圖形時，又沒有平分點等出現(xiàn)時，就可不必先建立直角坐標系，而是根據(jù)實際問題來求解，例如：例3證明；銳角三

7、角形的三條高交于一點。如圖3，已知AD、BE、CF分別是ABC的三條高，求證：AD、BE、CF相交于一點分析：要證明三條高線交于一點，可先設兩條高線交于一點，再利用向量的數(shù)積證明第三條高線也過此點即可。BCADEFG圖3證明：如圖3，設BE、CF交于點G，以下只需證明點G在AD上，用向量的垂直理論證明有關問題時，最關鍵的就是要用好，，等相關知識2.2運用向量的性質(zhì)和運算解決平面幾何問題將平面幾何問題的條件和所求（翻譯成）轉(zhuǎn)化為向量后，問題的解決就轉(zhuǎn)化為了向量問題的解決。平面幾何中的問題常有求線段的長度，證明兩線段相等、平行、垂直、相

8、交時求夾角等。此時我們只需利用向量的相關概念及運算，就可將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為求向量的模，證明兩向量模的相等，兩向量平行、垂直、求兩向量的夾角等問題來解決兩向量所在的直線平行、垂直等就可以解決問題。2.3將向量結論轉(zhuǎn)化為幾何問題我們在選