Ch1 條件概率,全概率公式(二).ppt

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1、第一章隨機(jī)事件與概率（二）本章要點(diǎn)了解概率論中的一些基本概念:隨機(jī)試驗(yàn),樣本點(diǎn),樣本空間.事件的關(guān)系和運(yùn)算.了解概率的統(tǒng)計(jì)定義和古典概型.了解概率的公理化定義及相關(guān)性質(zhì),掌握古典概型中概率的計(jì)算方法.五、條件概率與事件的獨(dú)立性1.條件概率引例某家電商店庫存有甲、乙兩聯(lián)營(yíng)廠生產(chǎn)的相同牌號(hào)的冰箱臺(tái),甲廠生產(chǎn)的臺(tái)中有臺(tái)次品.乙廠生產(chǎn)的臺(tái)中有臺(tái)是次品.今工商質(zhì)檢隊(duì)隨機(jī)地從庫存的冰箱中抽檢一臺(tái),那么抽檢到的臺(tái)是次品（記為事件）的概率有多大？轉(zhuǎn)變?yōu)樵谑录l(fā)生的前提下（增加了一個(gè)附帶條件）,由古典概率的計(jì)算,

2、知若商店有意讓質(zhì)檢隊(duì)從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽檢臺(tái),那么這臺(tái)是次品的概率又是多少？容易得到,此時(shí)的概率為注意到這兩個(gè)概率是不同的,想想為什么?從甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取臺(tái)（記為事件）,則問題即在“抽到的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)”的條件下,求事件發(fā)生注意到,的概率.如此概率稱為條件概率,記為從而有關(guān)系:⑴下面就幾何概率,驗(yàn)證上式的正確性.設(shè)樣本空間是某個(gè)區(qū)域,每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,則由幾何概率的計(jì)算公式得:在事件發(fā)生的前提下（樣本空間從縮小到）,事件發(fā)生的概率為由此得到定義給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,對(duì)

3、于任意兩個(gè)事件其中稱為在已知事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.可以驗(yàn)證,條件概率滿足概率公理化定義中的條公理.例21某建筑物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過年的概率為超過年的概率為該建筑物使用壽命超過年后,它將在年內(nèi)倒塌的概率有多大?解設(shè)事件表示“該建筑物使用壽命超過年”,事件表示“該建筑物使用壽命超過年”.由題意,得又因?yàn)楣仕蟮臈l件概率為例22某袋中有紅球6個(gè),白球4個(gè),取二次球,每次取一解記分別表示第一、第二次取紅球的事件.由條注意到,此時(shí)且個(gè).求在第一次取到紅球的條件下,第二次也取到紅球的概率（不

4、放回）.件在第一次取紅球的條件下第二次取紅球的概率為:由⑴得設(shè)為事件,且由條件概率公式變形后有2.乘法公式⑵進(jìn)一步地有設(shè)為事件,則⑶例23（機(jī)遇問題）解以表示第人摸到獎(jiǎng)券這一事件,則由乘法公式得四個(gè)人摸到的概率.設(shè)有十人摸一張有獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券,求第第四人摸到的事件為例23設(shè)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球.每次隨機(jī)地從袋的球,共取了次,試求次取到的都是紅球的概率.解設(shè)事件表示第次取到的是紅球,則中取球,然后把原球放進(jìn),再放進(jìn)個(gè)與取出的球同色所以⑴獨(dú)立的意義問題的引出:設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是相應(yīng)的樣本空間,是兩個(gè)事件.在

5、前面的眾多例子中,我們看到,在一般情況下,事件的發(fā)生都會(huì)對(duì)事件的發(fā)生產(chǎn)生影響,但某些情況下,事件的發(fā)生與的發(fā)生沒有任何影響.用數(shù)學(xué)公式來反映的話即為:2.隨機(jī)事件的獨(dú)立性例24一袋中裝有個(gè)4白球,2個(gè)黑球,從中有放回取兩次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又有條件概率公式每次取一個(gè).求在第一次取到的是白球的條件下,第二次取到的也是白球的概率.也是白球,則有即:上式表明:事件的發(fā)生對(duì)事件的發(fā)生沒有任何影響.再由條件概率公式:實(shí)際上,由于該問題是一個(gè)放回抽樣問題,常識(shí)告訴我們,事件不應(yīng)該

6、對(duì)事件產(chǎn)生影響.由上式:和前式相比較,有為此,我們引入下面概念.定義設(shè)為事件,且滿足則稱事件是獨(dú)立的.⑵獨(dú)立性⑷定理如果件是則事件獨(dú)立的充分必要條定理下列個(gè)命題是等價(jià)的:⑴事件與相互獨(dú)立;⑵事件與相互獨(dú)立;⑶事件與相互獨(dú)立;⑷事件與相互獨(dú)立.注意該定理的意義.定義設(shè)為事件組,且任取有則稱是相互獨(dú)立的.當(dāng)時(shí),事件組獨(dú)立的含義是:當(dāng)⑸成立,則稱事件組是兩兩獨(dú)立的.⑸⑹例25某項(xiàng)工作交由三個(gè)人獨(dú)立完成,設(shè)這三人完成的解設(shè)分別表示第一,第二,第三人完成該工再設(shè)事件表示工作被完成,則因又概率分別為求該項(xiàng)工

7、作被完成的概率.作,則所以所以注意求解該類題的一般方法.例26已知每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等價(jià)于“100個(gè)且他們是否含有肝炎病毒是相互獨(dú)立的.今混合100個(gè)人的血清,試求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.設(shè)事件表則所求概率為:示“第個(gè)人的血清中含有肝炎病毒”,即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率為0.33.此例說明,小概率事件在多次的重復(fù)試驗(yàn)中會(huì)有較大可能出現(xiàn).3.獨(dú)立性在可靠性問題中的應(yīng)用可靠性問題是系統(tǒng)設(shè)計(jì),產(chǎn)品

8、質(zhì)量控制中的一類重要問題.在以下討論中,假設(shè)各元件是否能正常工作是相互獨(dú)立的.解設(shè)表示各部件正常,靠度為因此系統(tǒng)的可靠度為例27設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件串聯(lián)而成,第個(gè)元件的可試求這個(gè)串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度.表示系統(tǒng)正常,則系統(tǒng)正常等價(jià)于每個(gè)部件正常.這樣的問題稱為串聯(lián)系統(tǒng)問題.例28設(shè)某臺(tái)設(shè)備由六部件組成,已知該設(shè)備出故障解設(shè)表示各部件正常,表示設(shè)備正常,又每個(gè)部件都出故障.又,每個(gè)部件工作出故障的可能性為求設(shè)備正常工作的概率.則有該問題稱為并聯(lián)系統(tǒng)問題.例29設(shè)一個(gè)系統(tǒng)由個(gè)元件組成,其連接方式如圖所示,試