復變函數(shù)論文.doc

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1、復、實變函數(shù)的比較與應用作者：阮玲花學號：201310401205專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學復、實變函數(shù)的比較與應用姓名：阮玲花班級：數(shù)學132學號：201310401205數(shù)域從實數(shù)域擴大到復數(shù)域后，便產生了復變函數(shù)論，并且深入到了微分方程、拓撲學等數(shù)學分支。復變函數(shù)論著重討論解析函數(shù)，而解析函數(shù)的實部與虛部是相互聯(lián)系的,這與實函數(shù)有根本的區(qū)別。有關實函數(shù)的一些概念，很多都是可以推廣到復變函數(shù)上。例如：函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的導數(shù)、有（無）界函數(shù)、中值定理、泰勒展式、基本初等函數(shù)等等。在中學我們主要了解學習了實變函數(shù)，與大學期間我們又更加深

2、入的學習研究了實變函數(shù)，與此同時，也開始復變函數(shù)的學習。由此我們看到了：“數(shù)的擴展：正數(shù)→負數(shù)→實數(shù)→”,在實數(shù)范圍內：當方程判別式小于0時，沒有實根?！鷶U大數(shù)域，引進復數(shù)，這樣容易給人一種由淺入深、由簡入繁、由特殊到一般的感覺，它們有很深的聯(lián)系，然而事實上，他們有很大的不同，有很大的區(qū)別。下面我們從幾個方面來說明實變函數(shù)與復變函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別。（一）實變函數(shù)實變函數(shù)論即討論以實數(shù)為變量的函數(shù),然而實變與常微分方程等不同,簡單地說就是恰當?shù)母脑旆e分定義使得更多的函數(shù)可積。由于諸如狄利克雷這樣的簡單函數(shù)都不可積，所以原有的積分范圍太窄

3、了，進而便產生了Lebesgue創(chuàng)立新積分的原始思路。Lebesgue積分：（二）復變函數(shù)復變函數(shù)是數(shù)學分析的繼續(xù)，復變函數(shù)的定義：若在復數(shù)平面上存在一個點集，對于的每一點z，按照一定規(guī)律，有一個或多個復數(shù)值與之相對應，則稱為z的函數(shù)，記作，z∈鄰域：以復數(shù)為圓心，以任意小正實數(shù)為半徑做一個圓，則圓內所有點的集合稱為的鄰域。把復變函數(shù)的的實部和虛部分別記作u(x,y)和v(x,y)，=u(x,y)+iv(x,y)，所以，復變函數(shù)可以歸結為一對二元實變函數(shù)。（三）實變函數(shù)及與復變函數(shù)比較1．自變量的不同以實數(shù)作為自變量的函數(shù)就做實變函

4、數(shù)；即實數(shù)→實變量→實變函數(shù)。以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù)；即復數(shù)→復變量→復變函數(shù)。2.實變函數(shù)與復變函數(shù)的聯(lián)系區(qū)別因為z=x+yi,所以復變函數(shù)y=的實部與虛部都是x,y的函數(shù)，即=u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一個復變函數(shù)是兩個實變函數(shù)的有序組合。這樣，實變函數(shù)的許多定義、公式，定理可直接移植到復變函數(shù)中。然而同時，由于復變函數(shù)的虛部，實變函數(shù)的許多定義、公式，定理也不再是用于復變函數(shù)。對于復變函數(shù)與實變函數(shù)，我們分別學習了兩者的點集、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等性質與應用。然而同時，由于復變函數(shù)的

5、虛部，所要求的點集、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等性質與應用的定義也不盡相同。3．復變函數(shù)與實變函數(shù)關于導數(shù)概念的敘述是相似的，即都是由函數(shù)值的差與自變量的差之商的極限來定義導數(shù)，它們的聯(lián)系也是密切的，區(qū)別則是整個取值的差異。復變函數(shù)在復數(shù)域中取值，實變函數(shù)在實數(shù)域內取值，但兩種微分的幾何意義是相同的。對于微分的性質，實變函數(shù)與復變函數(shù)有以下三大點的不同。（1）微分中值定理微分中值定理是微分學的重要內容，表現(xiàn)形式一般為柯西中值定理，羅爾中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在復數(shù)域中是不成立的。我們以羅爾定理來舉例證明。羅爾定

6、理：若函數(shù)滿足：①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在開區(qū)間內可導，且；則必存在，使得。證明：取，在整個復平面上解析，且，但，無論取什么值都不會為零，也就是說羅爾定理的結論對函數(shù)不成立。故微分中值定理不能直接推廣到復變函數(shù)中來。（2）解析函數(shù)零點的孤立性在《復變函數(shù)論》中，區(qū)域D內點可微的復變解析函數(shù)的零點總是孤立的。而實變函數(shù)體現(xiàn)出的性質則截然相反。例1：如在

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11、（a）0.從而(z)在點a連續(xù).于是存在鄰域

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14、高階導數(shù)的柯西積分公式可得設函數(shù)在閉區(qū)域D上解析（D為單連通區(qū)域或多連通區(qū)域），則在D內的任意階導數(shù)存在，且()=(n=1,2,...).其中C為D的邊界，取正向：.但實變函數(shù)中，任意=不具有二階導數(shù)。4.復變函數(shù)積分性質與實變函數(shù)積